(ITA - 2017) O maior valor de tg x, com x = 1/2 arcsen( 3/5 ) e x ∈ [0, π/2], é:

(ITA - 2017)  O maior valor de tg x, com x = 1/2 arcsen( 3/5 ) e x ∈  [0, π/2], é:

A ( ) 1/4. 
B ( ) 1/3.
C ( ) 1/2.
D ( ) 2.  
E ( ) 3.

Resolução:  Essa é uma questão onde aparece arcsen ( uma função trigonométria inversa)

Estamos acostumados a fazer sen 30º = 1/2.  Ou seja, damos um ângulo e encontramos o seno desse ângulo.

Mas podemos fazer o contrário.  Dar o valor do seno de um ângulo e perguntar qual é aquele ângulo.  Essa é uma função trigonométrica inversa.

Quando dizemos arc sen (3/5) queremos saber:  Qual é o ângulo cujo seu seno vale 3/5?

Veja o exemplo

sen 30º = 1/2
arcsen (1/2) = 30º  (o ângulo cujo seno vale 1/2 é o ângulo de 30º)

Sendo assim podemos dizer que o arcsen 3/5  = θ (onde θ pode ser representado no triângulo a seguir)



Sem auxílio de uma calculadora, já que estamos resolvendo esta prova em um vestibular, não podemos encontrar o exato valor de θ, mas podemos deixá-lo representado assim.

Agora vamos lá, você concorda que o cateto adjacente a θ vale 4?  Pelo Teorema de Pitágoras não é difícil encontrar este segmento.      3² + x² = 5²   ( logo x = 4)

E se o seno de θ = 3/5 você concorda que também teremos:

tg θ = 3/4 e cos θ = 4/5

Este artifício no triângulo retângulo é muito importante para solucionar questões de funções trigonométricas inversas.  É importante estar em dia com as Relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Agora voltemos ao enunciado. 

Queremos  tg x, com x = 1/2 arcsen( 3/5 )

Sabemos que arcsen (3/5) = θ
x = 1/2 θ   >>> logo estamos buscando tg x = tg (θ/2)


Nosso problema agora consiste em encontrar 

tg (θ/2)

Uma das identidades trigonométricas do arco metade diz que

tg (θ/2) =  sen θ 
                 1+cosθ   

E pelo triângulo retângulo que desenhamos já temos as informações que precisamos.

tg (θ/2) =    3/5      =     1/3  [a resposta é a alternativa B]
               (1+4/5)


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