(ENEM 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula
(ENEM 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula
V = P (1+i) n
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para ln (4/3) e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30a é a:
a) 56a
b) 55a
c) 52a
d) 51a
e) 45a
Resolução: Nesta questão usaremos o logaritmo para descobrir a partir de qual tempo "n" as parcelas que serão antecipadas estarão gerando um desconto superior a 25%.
Ele quer que na parcela de número 30, o devedor pague R$ 820,00 e antecipe uma parcela que seja paga com desconto de no mínimo 25%.
Ou seja, ele quer pagar uma parcela do futuro que no presente será dada por:
P = 0,75.V ou ainda P = 3/4 . 820
Vamos aplicar os seguintes valores na fórmula:
Vamos aplicar os seguintes valores na fórmula:
V = 820
P = 3/4 . 820
i = 0,0132
n = ? é o que queremos calcular
V = P (1+i) n
820 = 3/4 . 820 (1,0132) n
(1,0132)n = (4/3)
Neste momento, os ln´s informados pela questão serão úteis. Vamos aplicar ln dos dois lados de nossa equação, mantendo-a verdadeira.
ln (1,0132)n = ln (4/3)
Usando as propriedades de logaritmos, podemos retirar o expoente n, trazendo-o para fora do ln.
n . ln (1,0132) = ln (4/3)
Foram dados pelo exercício:
Vamos substituir:
0,0131 . n = 0,2877
n = 0,2877 / 0,0131
n = 21,9 ( arredondaremos para cima / n = 22)
A alternativa C é a correta ( 52a parcela) Isso porque ela representa a 30a parcela + 22 parcelas, ou seja, estando no mês 30 e pagando uma parcela de R$ 820,00 naquele mês, a parcela de número 52 poderia ser antecipada e ela geraria um desconto superior a 25%.
Apenas como curiosidade, depois de ter resolvido manualmente este exercício com logaritmo natural (ln), lancei este exercício em uma planilha eletrônica do Excel, com intuito de apresentar uma melhor visualização e tirar a prova real deste exercício. Veja que é exatamente a partir da 22a parcela que os descontos superiores a 25% começam a aparecer.
Neste momento, os ln´s informados pela questão serão úteis. Vamos aplicar ln dos dois lados de nossa equação, mantendo-a verdadeira.
ln (1,0132)n = ln (4/3)
Usando as propriedades de logaritmos, podemos retirar o expoente n, trazendo-o para fora do ln.
n . ln (1,0132) = ln (4/3)
Foram dados pelo exercício:
- ln 1,0132 = 0,0131
- ln (4/3) = 0,2877
Vamos substituir:
0,0131 . n = 0,2877
n = 0,2877 / 0,0131
n = 21,9 ( arredondaremos para cima / n = 22)
A alternativa C é a correta ( 52a parcela) Isso porque ela representa a 30a parcela + 22 parcelas, ou seja, estando no mês 30 e pagando uma parcela de R$ 820,00 naquele mês, a parcela de número 52 poderia ser antecipada e ela geraria um desconto superior a 25%.
Apenas como curiosidade, depois de ter resolvido manualmente este exercício com logaritmo natural (ln), lancei este exercício em uma planilha eletrônica do Excel, com intuito de apresentar uma melhor visualização e tirar a prova real deste exercício. Veja que é exatamente a partir da 22a parcela que os descontos superiores a 25% começam a aparecer.