(ESA - Escola de Sargento de Armas -  2017) - Os valores de k de modo que o valor mínimo da função f(x) = x2 + (2k - 1)x + 1 seja  -3  são:


Solução:

Estamos diante de uma função do segundo grau que descreve uma parábola, genericamente dada por f(x) = ax2 + bx + c

Toda parábola terá, ou um ponto de máximo, quando sua concavidade estiver voltada para baixo, ou um ponto de mínimo, quando sua concavidade estiver voltada para cima.

Em nosso caso, nossa parábola terá concavidade voltada para cima, já que o componente "a" que acompanha x2  nesta função é igual a  +1 ( um número positivo).

Sabemos que o mínimo desta parábola será dado pelo Yv ( Y do vértice).

Yv = - Δ / 4a       onde   Δ = b2 - 4ac

Yv deverá ser igual a -3 ( é a exigência do problema proposto)

-3 = - Δ / 4a 
-3 = - [ (2k-1)2 - 4.1.1] / 4 .1
-12 = - [ 4k2 -4k + 1 - 4]
-12 = - [ 4k2 -4k -3]
12 = 4k2 -4k -3
4k2 -4k -15 = 0

Agora para encontrarmos os valores de k ( k' e k'') vamos solucionar esta equação do segundo grau

k = [ -(-4) ± √Δ ] / 2 (4) 

Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 (4) (-15) = 16 + 240 = 256 
Δ = 256
√Δ = 16
k = [ 4 ± 16 ] / 8
k' = [ 4 + 16 ] / 8      &      k" = [ 4 - 16 ] / 8 
k' = 5/2       &      k" = -3/2

Quer ver mais questões sobre vértices de uma parábola?  Clique aqui e saiba mais:  exercícios de matemática sobre vértices da parábola.

Bons estudos, um forte abraço e até o próximo.