Albert Girard
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 (Concurso Professor Matemática - Prefeitura de Itabuna - Bahia - 2016 - Banca FUNCAB) Sendo k e t as raízes da equação 6.x² - 5x + 10 = 0, o valor da expressão E = ( k + 1/k) + ( t + 1/t ) + (k² + 2.k.t + t²), é

 a) 25/73   b) 73/36   c) 36/73   d) 25/36   e) 36/25

Solução do Exercício:  estamos diante de uma equação do 2º grau onde a forma mais ágil de resolvê-la, será por meio das Relações de Girard.  Num primeiro momento você pode tentar aplicar a fórmula de Báskara, mas verá que suas raízes serão números complexos e os cálculos ficarão mais extensos.  Além do mais, o objetivo é calcular a expressão E que é formada pela soma e produto da raízes da equação do segundo grau apresentada.

Veremos que não será necessário encontrar k e t, poderemos resolver E utilizando a soma (k+t) e o produto (k.t).

Sejam k e t as raízes de uma equação do segundo grau ax² + bx + c, então, as Relações de Girard são:

k + t = -b/a    [  a soma das raízes é igual a menos b dividido por a]
k.t    = c/a      [  o produto das raízes é igual a c dividido por a ]

k + t = 5/6
k.t = 10/6 = 5/3

Agora vamos re-organizar a expressão

E = ( k + 1/k) + ( t + 1/t ) + (k² + 2.k.t + t²)
E =  k + t + 1/k + 1/t + (k+t)²
E =  (k + t) + (k+t)/(k.t) + (k+t)²
E = 5/6 + ( 5/6 )/(5/3) + (5/6)²
E = 5/6+(5/6)*(3/5)+25/36
E = 5/6 + 3/6 + 25/36
E = 30/36 + 18/36 + 25/36 = 73/36 [ resposta correta é letra B]

Este é um exemplo de exercício onde utilizar as Relações de Girard são suficientes e aceleram a solução de uma questão que envolva equações do segundo grau.  Sempre poderemos aplicar essas Relações de Girard?  Se uma determinada questão busca encontrar a soma ou o produto entre as raízes de uma equação, sem se preocupar em quais são essas raízes, entao é bem provável que ao utilizar as Relações de Girard o exercício será resolvido de uma forma mais eficiente.

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Forte abraço e bons estudos.