Equação Exponencial - Exercícios Resolvidos

Hoje vamos estudar com exercícios resolvidos sobre equações exponenciais.

"Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente."

Frase extraída do livro Matemática Fundamental de autoria de GIOVANNI, BONJORNO E GIOVANNI Jr.

São alguns exemplos de equações exponenciais:

a) 2^x    b)    4^x + 20 = 2^x     c)   M = C ( 1+i)^t      d) VD = VF (1-i)^t

Vamos aos exercícios:

1 - Resolver a equação 7^x+3 = 49^x

2 - (ESA - Escola de Sargento das Armas - 2012 )  O conjunto solução da equação exponencial 4^x - 2^x = 56 é

a) { -7, 8}    b) {3,8}    c)  {3}    d) {2,3}    e) {8}


3 - ( ESA - Escola de Sargento das Armas - 2012)  Se 5 ^x+2 = 100  , então 5 ^2x  é igual a:

a) 4  b) 8  c) 10  d) 16  e) 100 


4 - Uma determinada máquina adquirida por R$ 20.000,00  deprecia 10% ao ano.  Qual será o valor desta máquina 5 anos após sua compra?

5 - A população de uma determina cidade no ano 2000 era de 100.000 habitantes, desde então passou a crescer 10% ao ano.  Qual será a população desta cidade no ano 2030?



Vejamos a solução de cada questão sobre equação exponencial passo a passo a partir de agora:


1)  7^x+3 = 49^x
     7^x+3 = (7 ²)^x
      7^x+3 = 7 ^2x
      x+3 = 2x
      x = 3

2)   4^x - 2^x = 56   
      (2 ²)^x - 2^x - 56 = 0
      (2 ^x)² - (2^x) - 56 = 0       [ vamos substituir 2^x = y ]
   
       y² - y - 56 = 0

Podemos agora resolver pela fórmula de Bhaskara

y = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Resolvendo essa equação do segundo grau:

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4 . (1).(-56) = 1 + 224 = 225
√Δ = 15

y = (-b ± √Δ) / 2a
y = (1 ± 15) / 2
y1 = 16/2 = 8    e   y2 = -14/2 = -7

Logo, temos que y1 = 8 e y2 = -7

Precisamos voltar agora até 2^x = y


2^x = y1           -----           2^x = y2
2^x = 8             -----       2^x = -7   ( esse caso não Existe, pois 2^x   é sempre positivo) 
2^x = 2³     
x = 3  

Resposta é  letra c)  {3}
 

3)        5 ^x+2 = 100  ,       então     5 ^2x  ?
           5^x.5² = 2².5²         e             5 ^2x = (5^x)²  ou  (5²)^x
           5^x = 4                   e            5 ^2x = (5^x)²
                                                      5 ^2x  =  (4)² = 16     Resposta é letra D


4)  Para esse exercício podemos usar a equação exponencial de um crescimento (ou decrescimento) dada uma situação inicial, uma taxa e um período de tempo.

Valor Futuro = Valor Inicial (1+ i)^t

Valor Futuro = é o que desejamos calcular
Valor Inicial = R$ 20.000,00
t = 5
i = -10% (valor negativo já que representa um decrescimento)

VF = 20.000 ( 1 -0,10)⁵
VF = 20.000 ( 0,90)⁵
VF = 20.000 (0,59) = R$ 11.809,80

A fórmula utilizada é a mesma fórmula do montante de um capital nos juros compostos.  Essa fórmula representa uma equação exponencial.  Veja aqui um exercício sobre juros compostos.


5) Considerando o ano 2.000 como sendo (t=0), 2001 como (t=1), e assim sucessivamente, em 2030 (t=30).

VF = objetivo a ser calcular
VI = 100.000
t = 30
i = +10% (valor positivo já que representa um crescimento)

VF = 100.000 (1 + 0,10)³⁰
VF = 100.000 (1,10)³⁰
VF = 100.000 (17,4494)
VF = 1.744.940 habitantes

[A] 207.360 habitantes. 
[B] 100.160 habitantes. 
[C] 180.000 habitantes. 
[D] 172.800 habitantes. 
[E] 156.630 habitantes.

Link para a solução da questão 6.

7) (ENEM PPL 2019)  Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = N₀e^kt, em que N₀ é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.

Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.

Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi

A) 3N₀
B) 15N₀
C) 243N₀
D) 360N₀
E) 729N₀

Link para a solução da questão 7.

8) (Polícia Rodoviária Federal - PRF 2018 - Banca: CESPE/UNB) Para avaliar a resposta dos motoristas a uma campanha educativa promovida pela PRF, foi proposta a função f(x) = 350 + 150e^–x , que modela a quantidade de acidentes de trânsito com vítimas fatais ocorridos em cada ano. Nessa função, x ≥ 0 indica o número de anos decorridos após o início da campanha. Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.  [**Nesta questão é necessário julgar se os itens 27 e 28 são verdadeiros ou falsos].

 Para x > 0, seja Sx a soma



O número real x para o qual se tem Sx = 1/4 é

(A) 4
(B) log₂ 5
(C) 3/2
 (D) 5/2
(E) log₂ 3



Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013;  2,602 como aproximação para log 400;  2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é:

a) 12  b)  14   c)  15   d)  16   e)  17