EsPCEx 2018 - O número de raízes reais da equação 2 cos²x + 3 cosx + 1 = 0 no intervalo ]0,2π[ é:

 a) 0  b) 1  c) 2  d) 3  e) 4

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Escola Preparatória de Cadetes do Exército).  Para resolvê-la, vamos primeiramente substituir cos x por y para facilitar nossos cálculos.  Fazendo isso, teremos a equação do segundo grau  2y² + 3y + 1 = 0 que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara.

y = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Resolvendo essa equação do segundo grau:

Δ = b² - 4ac = 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1
√Δ = 1

y = (-3 ± 1) / (2 . 2) = (-3±1)/4

y1 = (-3 +1)/4 = -2/4 =  -1/2
y2 = (-3-1)/4 = -4/4 =  -1

 Agora, temos que igualar cos x aos dois valores de y encontrados.

 cos x = y1
cos x = -1/2

cos x = y2
cos x = -1

O enunciado nos informou que o intervalo está limitado entre 0 e 2π (sem incluí-los), ou seja, estamos limitados a uma volta de 360º (excluindo 0 e 360º).

Neste intervalo, existem dois ângulos cujo cosseno vale -1/2 (x = 120º  ou x = 240º) e um ângulo cujo cosseno será -1 ( x = 180º).

Logo x = {120º, 180º, 240º}.  A alternativa correta é a letra D.

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