(Professor Docente I - Matemática - 2015 - Banca CEPERJ)  A figura abaixo representa, no sistema de eixos cartesianos xoy, uma elipse de equação 16x² + 25y² = 400 e um triângulo AFG, retângulo em F.


Se AB é a medida do eixo maior dessa elipse e o ponto F um de seus focos, a área do triângulo AFG equivale a:

a) 8,0
b) 9,6
c) 12,8
d) 16,4
e) 20,0

Solução: questão sobre cônicas - elipses do último concurso para professor de matemática do Estado do RJ.  As fórmulas desta elipse são

x²/a² + y²/b² = 1    
c² = a² - b²  
c é a distância focal


A partir desta equação inicial dada 16x² + 25y² = 400 podemos dividir ambos os lados da equação por 400, mantendo assim a igualdade.

(16x² + 25y² ) / 400 = 400 / 400
16/400 x² + 25/400 y² = 1
x² /25 + y² / 16 = 1

Temos que a² = 25 e b² = 16
a = ± 5  e b = ± 4

Podemos agora encontrar a distância focal

c² = 25 - 16 = 9
c = ± 3

Por último, precisamos achar o ponto G que faz parte da elipse, e que possui a mesma abscissa que F, ou seja, no ponto +3 e ordenada com y>0.



Podemos encontrar G, aplicando x = +3 na equação da elipse.

x² /25 + y² / 16 = 1
3²/25 + y²/16 = 1
y = ± 16/5
y = ± 3,2

O ponto que nos interessa é o y = + 3,2.   Finalmente teremos o triângulo AFG com os seguintes vértices. 




A área do triângulo AFG = 8 x 3,2 / 2 = 12,8 unidades de área.  [ alternativa correta é a letra c]

Aproveite e confira mais exercícios resolvidos de geometria analítica.

          Um forte abraço e bons estudos.