(EsPCEx - 2018) Uma hipérbole tem focos F1 (-5,0) e F2 (5,0) e passa pelos pontos P(3,0) e Q(4,y), com y>0. O triângulo com vértices em F1, P e Q tem área igual a
Solução: questão interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército sobre Cônicas. Usaremos as seguintes fórmulas da Hipérbole.
Equação Reduzida da Hipérbole x² / a² - y² / b² = 1
E a distância focal (c) c² = a² + b²
Do enunciado temos que c = 5, logo 25 = a² + b²
Sabemos que o ponto P(3,0) está contido na hipérbole, logo, podemos inseri-lo na equação reduzida.
3² / a² - 0² / b² = 1
9/a² = 1
a² = 9
Finalmente acharemos b² por meio da relação
25 = a² + b²
25 = 9 + b²
b² = 16
Então a equação da hipérbole é x² / 9 - y² / 16 = 1
O Ponto Q (4,y) também está contido na hipérbole
4² / 9 - y²/16 = 1
16/9 - 1 = y²/16
7/9 = y²/16
y² = (16 . 7)/9
y = ± 4√7/3 ( do enunciado y >0)
y = 4√7/3
Desse modo, o Ponto Q é igual a (4, 4√7/3)
Por último, é preciso calcular a área do triângulo cujos vértices são:
F1 ( -5,0)
P ( 3,0 )
Q (4, 4√7/3)
Vejamos graficamente como fica esse triângulo no plano cartesiano:
Área = (base x altura) /2
Área = 8 x 4√7/3 x 1/2 = 16√7/3 unidades de área. Alternativa correta é a letra a)
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Um forte abraço e bons estudos!