(UNICAMP - 2020) Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a


Solução:   questão de geometria espacial bem interessante. Provavelmente você já conhece o cubo.




Já o tetraedro regular é, a grosso modo, uma pirâmide de base triangular onde todas as suas 4 faces são triângulos equiláteros.



Para resolver nosso problema, vamos considerar que o tetraedro regular é formado por 4 triângulos equiláteros de lado "t".  Chamaremos a área total do tetraedro regular de St.

As faces do cubo são 6 quadrados de lado "a".  Chamaremos a área total do cubo de Sc.

St = 4 x (área do triângulo equilátero de lado "t")
St = 4 x t² √3/4
St = t²√3

Sc = 6 x (área de um quadrado de lado "a")
Sc = 6 a²

Do enunciado, temos que St = Sc

t²√3 = 6 a² 

Vamos tirar raiz dos dois lados da equação e trabalhar usando o expoente fracionário, de modo que:

Para raiz quadrada de x usaremos  x1/2
Para raiz quarta de x usaremos  x1/4

t . 3 1/4 = 61/2.a
t/a = 61/2 /  3 1/4

Das propriedades de potência temos que 61/2 = (2.3)1/2  =  21/2 . 31/2

 t/a = (21/2 . 31/2 )/  3 1/4

Resolvendo a parte:  31/2 /  3 1/4  = 31/2 - 1/4   = 31/4

t/a = 21/2 . 31/4  A alternativa correta é a letra C.

Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado na compreensão desta questão. Aproveite e confira uma lista de exercícios resolvidos sobre Geometria Espacial.

 Um forte abraço e bons estudos.