(Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio) Para x

(Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio)
Para x > 0, seja Sx a soma

O número real x para o qual se tem Sx = 1/4 é

(A) 4
(B) log₂ 5
(C) 3/2
(D) 5/2
(E) log₂ 3

Solução: questão bem interessante onde utilizaremos a soma da PG infinita, equações exponenciais e logaritmos.

Sx representa a soma de uma PG infinita, cuja fórmula é:

Sx = a1 / ( 1-q )

onde a1 é o primeiro termo e q é a razão da PG infinita

a1 = 2^-x
q = ?
Não sabemos, ainda, a razão q, mas sabemos o valor de a2 e a1, então podemos achar q por meio da divisão de a2 por a1.

q = a2/a1
q = 4^-x/ 2^-x
q = 2^-2x/ 2^-x
q = 2^{-2x - (-x)}
q = 2^{(-2x + x)}
q = 2^-x

Agora basta aplicar na fórmula:

Sx = a1 / ( 1-q ) = 1/4

2^-x / (1 - 2^-x) = 1/4

4 . 2^-x= (1 - 2^-x)

4 . 2^-x + 2^-x = 1

5. 2^-x = 1

2 ^-x = 1/5

2 ^-x = 5 ^-1

<<Podemos aplicar log dos dois lados>>

log 2 ^-x = log 5 ^-1

-x . log 2 = -1 . log 5

x . log2 = log 5

x = log5 / log2

x = log₂5
Alternativa correta é a letra B.

Confira mais questões resolvidas e comentadas de matemática sobre os temas:

>>>> PA e PG, incluindo a soma da PG infinita
>>>> Equações Exponenciais
>>>> Operações com Logaritmos

Um forte abraço e bons estudos.

(Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio) Para x > 0, seja Sx a soma