(Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio) Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por an , para n ≥ 1. Sabe-se que a1 = 0 e que a sequência cujo termo geral é bn = an+1 - an , n ≥ 1, é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é b1 = 9 e cuja razão é igual a 4.

(Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio) Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por a_n , para n ≥ 1. Sabe-se que a₁ = 0 e que a sequência cujo termo geral é b_n = a_n+1 - a_n , n ≥ 1, é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é b₁ = 9 e cuja razão é igual a 4.

O termo a₁₀₀₀ é igual a

(A) 2.002.991
(B) 2.002.995
(C) 4.000.009
(D) 4.009.000
(E) 2.003.000

Solução:  para resolvermos esta questão precisamos ter em mente as fórmulas da progressão aritmética (PA).

Sabemos que    b_n = a_n+1 - a_n

Podemos re-escrever:

a_n+1  =  a_n  + b_n       (onde podemos aplicar em bn a fórmula do enésimo termo da PA)

Repare também que estamos diante de uma sequência que envolve Fibonacci, veja:

a1 = 0

a2 = a1 + b1
a2 = 0 + b1 + 0.r
a2 = 1. b1 + 0.r

a3 = a2 + b2
a3 = b1 + b1 + 1.r
a3 = 2.b1 + 1. r

a4 = a3 + b3
a4 = 2.b1 + 1. r + b1 + 2.r
a4 = 3.b1 + 3.r

a5 = a4 + b4
a5 = 3.b1 + 3.r + b1 + 3.r
a5 = 4.b1 + 6.r

a6 = a5 + b5
a6 = 4.b1 + 6.r + b1 + 4.r
a6 = 5.b1 + 10.r

(.....)

Repare que:

>> do segundo para o terceiro entrou + 1r;
>> do terceiro para o quarto entrou + 2 r;
>> do quarto para o quinto + 3 r;
>> do quinto para o sexto + 4r;

E assim sucessivamente.  Veja na imagem a seguir:

Agora já temos os elementos necessários escrever a fórmula para a1000  em função de b1 e r que são conhecidos.

a1000 = 999 x  b1 + ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..... + 998  ) x  r

E agora o problema nos apresenta uma nova pergunta.  Como podemos resolver ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..... + 998  )?? Estamos diante de um somatório de uma PA, onde o primeiro termo é 1, a razão é 1 e o número de elementos é 998. a1 = 1 r = 1 n = 998 A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por: Sn = ( n  x  (a1 + an) ) / 2 Sn = 998/2  x  (1+998) Sn = 499 x 999   [ não vamos resolver este produto por enquanto]

Agora podemos finalmente encontrar a1000

a1000 = 999 x  b1 + ( 499 x 999  ) x  r

a1000 = 999 x  9 + ( 499 x 999  ) x  4
a1000 = 999 x  9 + 999 x 1996
a1000 = 999 x (9 + 1996)
a1000 = 999 x (2005)

Podemos resolver essa conta diretamente, calculando 999 x 2005, ou podemos simplificar os cálculos na hora da prova, resolvendo da seguinte maneira:

1.000 x 2005 - 2005 = 2.002.995

Alternativa correta é a letra B.

Confira uma lista de questões e exercícios sobre PA e PG resolvidos.

Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado na compreensão da questão.

Um forte abraço e bons estudos.