(Vestibular Fuvest 2020) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo? 

(A) R$ 2.000,00 (B) R$ 3.200,00 (C) R$ 3.600,00 (D) R$ 4.000,00 (E) R$ 4.800,00

Solução:  essa é uma questão de maximização (ou minimização) que é muito comum em equações do segundo grau, onde utilizaremos o conceito de vértices de uma parábola. 

A Receita é dada pelo preço vezes o número de quantidades vendidas.  Mas há um detalhe, em função de um desconto dado no preço, desconto este que chamaremos de "x", haverá variações nas quantidades vendidas.  Podemos definir a função receita em função de x, como sendo: 

R(x) = ( 10 - x) . (200 + 100.x)           

Ou seja, para cada um real de desconto, mais 100 unidades vendidas.

Agora basta desenvolvermos R(x)

R(x) = 2000 + 1000x - 200x - 100x²
R(x) = -100x² + 800x + 2000

Repare que R(x) é uma parábola, onde seus coeficientes são:
a = -100
b = 800
c = 2000

Como o coeficiente a é negativo, então a concavidade dessa parábola será voltada para baixo.  Logo, ela possui um ponto de máximo exatamente em seu vértice.

O ponto X da coordenada do vértice da parábola é dado pela fórmula Xv = -b/2a

Xv = [-800] / [2.(-100)] = -800/-200 = 4

O desconto que dará a maior receita é o desconto de 4 reais.

R(4) = (10-4) . ( 200 + 100.4)
R(4) = 6 . (200 + 400)
R(4) = 6 . 600
R(4) = 3600  [ alternativa correta é a letra C]

**Curiosidade, para quem já estudou cálculo diferencial, um caminho alternativo seria derivar a função R(x) = -100x² + 800x + 2000 e igualar esta derivada a zero.

Confira mais questões sobre maximização e minimização envolvendo funções do segundo grau.

Questão sobre Maximização do Viveiro de Lagostas do ENEM 2017

Questão do Cederj 2020.1 sobre maximização

Um forte abraço e bons estudos.