(Vestibular Fuvest 2020) O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente,

Note e adote:
π ≅ 3,14.

(A) 9,4 m. (B) 11,0 m. (C) 18,8 m. (D) 22,0 m. (E) 25,1 m.

Solução:  questão muito interessante do vestibular Fuvest 2020.  Nela usaremos conceitos e fórmulas de geometria plana (comprimento de uma circunferência) e de progressão aritmética (soma dos elementos de uma PA).

Trabalharemos com as fórmulas a seguir:

Comprimento de circunferência (C).   C = 2 π R.

Somatório dos n primeiros termos de uma PA.  Sn = ( a1 + an) . (n  / 2)

Também precisaremos encontrar o n-ésimo termo de uma PA, com a fórmula an = a1 + (n-1) . r  

Vamos aos cálculos, repare que na volta número 1, o raio vale 3 cm.  Logo o comprimento de circunferência será de 

C = 2.π.3 cm = 6π cm

Na volta 2 o raio aumentará para 3,01 cm, logo:  

C = 2.π.3,01 cm =  6,02 π cm

Na volta 3 o raio aumentará para 3,02 cm, logo:

C = 2.π.3,02 cm =  6,04 π cm

Repare que a cada volta o comprimento da fita crepe aumenta 0,02 π cm, esta é a razão da PA.

Para encontrar o comprimento das 100 voltas, basta calcularmos o somatório de uma PA onde seus elementos são:

a1 = 6π cm

n = 100

r = 0,02 π cm

a100=?

Embora não saibamos o valor de a100, podemos encontrá-lo pela fórmula do n-ésimo termo de uma PA.

an = a1 + (n-1) . r  

a100 =  6π cm + ( 99) . 0,02 π cm

a100 =  6π cm + 1,98 π cm

a100 = 7,98 π cm

Finalmente, podemos calcular o somatório dos 100 primeiros termos dessa PA.

S100 = (a1 + a100 ) . (100/2)

S100 = (6π cm +  7,98 π cm) . 50

S100 = (13,98 π cm) . 50 = 13,98 . 3,14 . 50 

S100 = 2194,86 cm ou ≅ 22 metros. 

Alternativa correta é a letra D

Aproveite e confira as seguintes listas de exercícios resolvidos:  

Geometria Espacial - volume dos principais sólidos com exercícios resolvidos.

Exercícios de Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

Um forte abraço e bons estudos.