(EsPCEx - 2019) As equações das retas paralelas à reta r: 3x+4y-1=0, que cortam a circunferência λ: x²+y²-4x-2y-20=0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente
(EsPCEx - 2019) As equações das retas paralelas à reta r: 3x+4y-1=0, que cortam a circunferência λ: x²+y²-4x-2y-20=0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente
[A] 3x+4y+5=0 e 3x+4y+25=0.
[B] 3x+4y-5=0 e 3x+4y-25=0.
[C] 3x-4y+5=0 e 3x-4y+25=0.
[D] 3x+4y-5=0 e 3x+4y+25=0.
[E] 3x+4y+5=0 e 3x+4y-25=0.
Solução: questão de geometria analítica da EsPCEx muito rica que envolve a aplicação de vários conhecimentos da matemática como:
Equação da Circunferência
Posição relativa entre reta e circunferência (retas secantes)
Teorema de Pitágoras
Condição de Perpendicularidade entre duas retas
Cálculo da Distância de um Ponto a uma Reta
Equação Modular;
Em primeiro lugar, vamos obter o centro e o raio da circunferência, assim como desenhar o seu esboço.
x² - 4x +4 + y² -2y + 1 = 20 + 1 + 4
(x-2)² + ( y-1)² = 5²
Da equação acima, temos que a circunferência está centrada no ponto (2,1) e tem Raio = 5. Vamos esboçá-la no plano cartesiano.
Precisamos encontrar retas paralelas a r: 3x+4y-1=0 de modo que elas gerem cordas na circunferência de comprimento igual a 8. Duas equações de reta vão atender este objetivo, uma passando abaixo do centro da circunferência e outra passando acima dele. Se as retas são paralelas então elas devem ter o mesmo coeficiente angular da reta r: e serão do tipo s: 3x + 4y + k = 0.Vamos esboçar uma delas, a que passaria por cima, por exemplo.
"Toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio." Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia#Corda
Acessado em 19/11/2020 às 13:34.
Podemos visualizar que d = 3 por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras.
d² + 4 ² = 5²
d ² = 25 - 16
d² = 9
d = 3
Ele representa a distância do centro (2,1) até a equação de reta que forma uma corda de comprimento igual a 8.
Agora basta calcular a distância do ponto (2,1) até a reta s: 3x + 4y + k = 0 e igualar a 3.
| 10 + k = 15 k = 5 | ou | 10 + k = -15 k = -25 |
As retas são: 3x + 4y + 5 = 0 e 3x + 4y -25 = 0
Alternativa correta é a letra E.
Aproveite e confira lista de exercícios de geometria analítica.
Um forte abraço e bons estudos.