(EsPCEx 2019) O conjunto solução da inequação 2cos²x + sen x > 2, no intervalo [0, π], é

a)  ] 0,  π/6 [ 

b)  ] 5π/6,  π [ 

c) ] 0,  π/3 [   U   ] 2π/3,  π [ 

d)  ] 0,  π/3 [ 

e) ] 0,  π/6 [   U   ] 5π/6,  π [ 


Solução:  nesta questão de inequação trigonométrica, vamos utilizar um artifício para transformá-la em uma inequação do segundo grau.. Sendo a identidade trigonométrica: sen²x + cos²x = 1.  Temos que cos²x = 1 - sen²x.

2 (1 - sen² x) + sen x > 2
2 - 2sen² x + sen x  - 2 > 0
- 2 sen² x + sen x  > 0

Vamos substituir ( y = sen x )
-2 y² + y > 0

Agora nosso problema se transforma em uma inequação do segundo grau.  Vamos encontrar as raízes de -2y² + y.

-2y² + y = 0
y ( -2y + 1 ) = 0
y = 0  

-2y + 1 = 0
-2y = -1
y = 1/2

Vamos esboçar essa parábola. Como o coeficiente "a" da parábola vale -2, logo é menor do que 0, então a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Nossa inequação é satisfeita quando y está no intervalo: 0 < y < 1/2.  Lembre-se que y = sen x 
Logo 0 < sen x < 1/2. Outro fator importante: x deve estar no intervalo [0, π].    Já podemos ilustrar graficamente esses pontos no ciclo trigonométrico.




Repare que para o sen x estar entre 0 e 1/2 e no intervalo [0, π] ele deverá assumir os valores em graus:
   0 < x < 30º  ou   150º < x < 180º.   Já em radianos: 0 < x < π/6  ou 5π/6 < x < π. Alternativa correta é letra E.

Espero que a resolução passo a passo tenha te ajudado a compreender esta questão. Continue estudando com uma bateria de questões sobre trigonometria.

Um forte abraço e bons estudos.