(EsPCEx 2019) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D, possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em cm², desse trapézio mede:

[A] 120. [B] 60. [C] 180. [D] 30. [E] 240.

Solução:  questão de geometria onde utilizaremos conceitos como ângulos complementares,  a semelhança de triângulos e a área do trapézio.  Vamos esboçar nosso problema com as informações do enunciado. 



Como as diagonais são perpendiculares, então o ângulo entre elas é de 90º. Podemos inserir os ângulos complementares a e b no triângulo DAO.  Tenha em mente que a e b são complementares, isto é, a+b = 90º.  Repare só:



Após inserir esses dois ângulos, também podemos inserir os mesmos ângulos a e b nos demais triângulos a seguir:




Essa construção é importante para identificarmos que o triângulo DAB é semelhante ao triângulo CDA.



Resolvendo: 

18/k = k/2
k² = 36
k = ± √36
k = 6

Finalmente,  basta calcular a área do trapézio, onde a altura é o ( k=6 ) encontrado.

Área do trapézio = [ (Base maior + base menor) x altura ] /2

 = [(18+2).6]/2 = 60 cm²   [ Alternativa correta é a letra B ]

Curiosidade: dá para resolver essa mesma questão usando a geometria analítica?  Dá sim, podemos encontrar o k por meio das diagonais que formam retas perpendiculares.  Sabemos que o coeficiente angular de duas retas perpendiculares (m1 e m2) respeita a fórmula a seguir:  m1.m2 = -1   Então, se encontrarmos o coeficiente angular da reta que passa por DB  e o coeficiente angular da reta que passa por AC, basta multiplicarmos um pelo outro e igualar a -1 que encontraremos k.  Vamos ilustrar, fora de escala, nosso trapézio no plano cartesiano identificando os pares ordenados.


mDB = Δy/Δx = (y2-y1) / (x2-x1) 

mDB = (0 - k) / (2-0) = -k / 2


mAC = Δy/Δx = (y2-y1) / (x2-x1)

mAC = ( k-0 ) / ( 18 - 0 ) = k/18


mDB.mAC = -1

- k / 2  .  k / 18 = -1

-k² / 36 = -1

- k ² = -36

k² = 36 

k =  ± 6 ( o "k" que nos interessa é o positivo)

k = 6

Encontramos o mesmo k=6, agora basta seguir o mesmo fluxo da primeira resolução e aplicar na fórmula da área do trapézio.


Espero que tenha gostado das duas resoluções.  Continue estudando por questões, aproveite e confira:

>> Lista de questões resolvidas sobre semelhança de triângulos.

>> Lista de questões resolvidas sobre geometria analítica.


Um forte abraço e bons estudos.