(EsPCEx 2020) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir os 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?

[A] 8! [B] 7·7! [C] 7! [D] 2·7! [E] 6·7!

Solução: questão interessante de análise combinatória da EsPCEx 2020. Vou adotar como estratégia:

>> Em primeiro lugar, calcular o total de possibilidades sem restrições (TOTAL)

>> Em segundo lugar, calcular o total de possibilidades nas quais Gomes e Oliveira estarão juntos (TOTAL JUNTOS).

>> Finalmente aplicar na fórmula: TOTAL NÃO JUNTOS = TOTAL - TOTAL JUNTOS

O total de possibilidades de distribuição de oito alunos em oito poltronas, sem restrição é de 8!.

O total de possibilidades de distribuição na qual Gomes e Oliveira estarão juntos é 2 x 7 x 6! Vamos ver porque:

( G )( O )( _ )( _ )( _ )( _ )( _ )( _ )

1 2 3 4 5 6 7 8

Repare que eles podem ficar juntos de 7 maneiras diferentes, são elas, ocupando as poltronas: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5),(5,6), (6,7), (7,8). Além disso, podem ficar na posição Gomes e depois Oliveira ou o contrário. Então fica sendo 7x2. Como sobrarão 6 pessoas para as outras 6 poltronas, basta multiplicar por 6! Logo, o total das possibilidades com eles juntos é de 2 x 7 x 6! que é igual a 2 x 7!.

Agora é só aplicar na fórmula a seguir:

TOTAL NÃO JUNTOS = TOTAL - TOTAL JUNTOS

TOTAL NÃO JUNTOS = 8! - 2 x 7! = 8 x 7! - 2 x 7! = 7!(8-2)=7!.6 [alternativa correta é a letra E]

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>> Exercícios de Análise Combinatória: resolvidos e comentados com gabarito

Um forte abraço e bons estudos.