(Fuvest 2020) A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐retângulo de medidas 7 cm × 4 cm × 4 cm está inscrito tem diâmetro de

(A) 9 cm. (B) 10 cm. (C) 11 cm. (D) 12 cm. (E) 15 cm.

Solução:  questão muito interessante de geometria espacial. Vamos resolver essa questão ilustrando o problema passo a passo.  Em primeiro lugar, precisamos ter em mente que a menor esfera será aquela na qual os vértices do paralelepípedo coincidirem com o seu desenho, vejamos a ilustração de alguns pontos estratégicos a seguir:



A primeira figura ilustra o nosso problema.  A segunda é um corte dado exatamente sobre o plano ABCD, plano que divide a esfera ao meio.  O raio da menor esfera partirá de O e chegará até E.  Nosso problema agora é descobrir o raio da esfera resolvendo o seguinte triângulo retângulo.


O segmento OC ainda não é conhecido, porém é facilmente resolvido aplicando o Teorema de Pitágoras na figura a seguir, veja:



OC² = 2 ² + 2 ² = 4 + 4 = 8

OC = 2√2

Agora para encontrarmos o Raio, basta calcularmos Raio² = OC² + CE²

Raio² = (2√2)² + (7/2)² = 4.2 + 49/4

Raio² = 8 + 49/4 = 32/4 + 49/4 = 81/4

Raio = 9/2 cm

Diâmetro = 2 x Raio = 2 x 9/2 cm

Diâmetro = 9 cm [alternativa correta é a letra A]

Espero que esta resolução passo a passo e ilustrada tenha ajudado na compreensão da questão. Aproveite e confira também:  exercícios resolvidos sobre geometria espacial.

Um forte abraço e bons estudos.