(Fuvest 2020) Se 3x² - 9x + 7 = (x-a)³ - (x-b)³, para todo número real x, o valor de a + b é

a) 3
b) 5
c) 6
d) 9
e) 12

Solução:  vamos resolver essa questão desenvolvendo os produtos notáveis da parte direita da equação.

Sabemos que 
(x-a)³ = x³- 3x²a + 3xa² - a³
Da mesma forma 
(x-b)³ = x³- 3x²b + 3xb² - b³

Substituindo na equação

3x² - 9x + 7 = (x-a)³ - (x-b)³ 
3x² - 9x + 7 =  x³- 3x²a + 3xa² - a³ - ( x³- 3x²b + 3xb² - b³ )
3x² - 9x + 7 =  x³- 3x²a + 3xa² - a³  -x³ + 3x²b - 3xb² + b³ 
3x² - 9x + 7 =  -3x²a + 3xa² - a³   + 3x²b - 3xb² + b³  
3x² - 9x + 7 =   x² ( -3a + 3b ) + x ( 3a² - 3b²  )  + ( b³ - a³ )

Agora basta igualar os coeficientes nos dois lados da equação e teremos um sistema de 3 equações
3 = - 3a + 3b
-9 = 3a² - 3b²
7 = b³ - a ³

Da equação 1 temos que:

3 = -3a + 3b
1 = b -a
b = a +1

Da equação 2 temos que 

-9 = 3a² - 3b²
-3 = a² - b²  ( aplicando b = a + 1)
-3 = a² - ( a + 1)²
-3 = a² - (a² + 2a + 1)
-3 = -2a -1
-2a = -2
a = 1

Voltando a equação 1
b = a +1
b = 1 + 1
b=2

O objetivo da questão é calcular a + b = 1 + 2 = 3 [Alternativa correta é a letra A]

Curiosidade, vamos usar a equação 3 para tirar a prova real

7 = b³ - a ³
7 = 2³ - 1³
7 = 8-1
7 = 7  [Verdade]

Também é possível fazer uma prova real bem rápida nas equações 1 e 2.

Um forte abraço e bons estudos.