(Fuvest 2020) Um ponto (x,y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação x² + y² -2x -6y +2 = 0.  É correto afirmar que F

(A) é um conjunto vazio.
(B) tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
(C) tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.
(D) tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
(E) tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.

Solução:  questão muito interessante de geometria analítica. Vamos resolver passo a passo e esboçando gráficos quando necessário. Primeiramente, vamos desenhar o círculo em um plano cartesiano.

x² + y² -2x -6y +2 = 0

x²  -2x   +  y² -6y   =  - 2

x²  -2x  +1  +  y² -6y + 9   =  - 2 + 1 + 9

(x-1)² + (y - 3)² = 8

(x-1)² + (y - 3)² = ( 2√2 ) ²

Centro do círculo = (1,3) e Raio = 2√2 ≅ 2,83


Repare que o círculo está no primeiro e segundo quadrante.    O objetivo da questão é encontrar a quantidade de pontos contidos no círculo em que a distância de cada um desses pontos até o eixo x e o eixo y são iguais.  Em outras palavras, os pontos devem ter o mesmo valor absoluto.  

>> 1º quadrante  (x,y) =  (a,a)

>> 2º quadrante  (x,y) = (-b,b)

Trabalhando no primeiro quadrante, vamos substituir o ponto (a,a) na equação do círculo:

x² + y² -2x -6y +2 = 0

a² + a² - 2a - 6a + 2 = 0

2a² - 8a + 2 = 0

a² - 4a + 1 = 0

** Como as opções de respostas não pedem para encontrar os pontos, mas apenas a quantidade deles, então não precisamos resolver a equação do segundo grau, apenas ver a quantidade de raízes por meio da análise do Δ.   

Δ > 0   haverá duas raízes reais distintas;

Δ = 0   haverá uma única raiz real (de multiplicidade 2)

Δ < 0   não haverá raiz real.

Δ = b²-4ac = (-4)² - 4.1.1 = 16 - 4 = 12

Δ > 0  [  Logo, há dois pontos no primeiro quadrante]


Trabalhando no segundo quadrante, vamos substituir o ponto (-b,b) na equação do círculo:

x² + y² -2x -6y +2 = 0

(-b)² + (b²) - 2(-b) - 6 (b) + 2 = 0

b² + b² + 2b - 6b + 2 = 0

2b² - 4b + 2 = 0

b² - 2b + 1 = 0

Δ = b²-4ac = (-2)² - 4.1.1 = 4 - 4 = 0

Δ = 0 [Logo, há um único ponto no segundo quadrante]

Alternativa correta é a letra D.

Curiosidade, caso resolvêssemos as equações do segundo grau acima encontraríamos o seguinte conjunto F { ( -1 ; 1 ), ( 2 - √3 ; 2 - √3 ), ( 2 + √3; 2 + √3 )   }

Espero que esta resolução passo a passo e ilustrada tenha te ajudado a compreender essa questão da Fuvest 2020.

Confira mais questões sobre equações de circunferência.

Um forte abraço e bons estudos.