(CEDERJ 2019.1) A soma das medidas das diagonais de um losango é 12 cm. A maior área possível para esse losango, em cm², é:

a) 6  b) 12  c) 18  d) 24

Solução:  questão muito inteligente do Vestibular CEDERJ 2019.1 de Matemática que envolve área do losango (geometria plana) com a maximização de problemas usando função do segundo grau (vértice da parábola). Para estudantes de cálculo diferencial, o uso de derivada também pode ser utilizado na resolução.

Repare na figura a seguir: a área de um losango é dada por A = (D.d)/2  


Do enunciado: 
D + d = 12
D = 12 - d

Podemos reescrever a área A em função apenas da diagonal menor "d":

A (d) = [(12-d).d]/2
A (d) = [ 12d-d² ]/2
A (d) = 6d - d²/2
A (d) = (-1/2)d² + (6)d

Repare que a área do losango em função de "d", representa uma função do segundo grau, ou seja, é uma  parábola que, neste caso, possui a sua concavidade voltada para baixo, uma vez que o coeficiente "a" da parábola é negativo.  Sendo assim, é no vértice dessa parábola que está o seu ponto de máximo.  A fórmula da coordenada X do vértice: Xv = -b/2a.

Xv = -(6) / 2(-1/2)
Xv = -6 / -1
Xv = 6

Então, é na diagonal menor (d=6) que está o ponto de área máxima. Se d=6, então D=6, uma vez que d+D=12.

Respondendo a pergunta do enunciado: a maior área possível para esse losango, em cm², é 
A = (6 . 6) / 2 = 36/ 2 = 18 cm² (alternativa correta é a letra C)

Questões sobre o vértice da parábola são muito comuns em problemas de maximização (ou minimização) envolvendo funções do segundo grau. Nessas questões, será necessário modelar o problema de modo a obter uma função do segundo grau e depois aplicar a fórmula do vértice da parábola. Para treinar mais este tópico, recomendo que você realize as três questões abaixo:

>> Questão do ENEM 2017 sobre a maximização de um viveiro de lagostas

>> Questão do FUVEST 2020 sobre maximização de arrecadação de uma lanchonete

>> Questão do CEDERJ 2020.1 sobre maximização

Se você está se preparando para o Vestibular CEDERJ, pratique bastante esse assunto, pois a banca examinadora gosta muito de cobrá-lo em seus exames.

Um forte abraço e bons estudos.