(CEDERJ 2020.2) A superfície de uma mesa que tem a forma de um quadrado ABCD foi dividida em três partes pelos segmentos de reta MC e BE, como indica a figura abaixo.

(CEDERJ 2020.2)  A superfície de uma mesa que tem a forma de um quadrado ABCD foi dividida em três partes pelos segmentos de reta MC e BE, como indica a figura abaixo.

Se M é o ponto médio do segmento AD, e as áreas, em m², das partes 2 e 3 são, respectivamente a e b, a razão a/b é igual a:     

A) 5/4  B) 4/3  C) 3/2  D)1

Solução:  questão muito interessante de geometria do vestibular CEDERJ 2020.2, para facilitar nossos cálculos, vamos considerar que o quadrado tem lado igual a 10 e também marcar os ângulos complementares α  e β.  

O segmento MC pode ser obtido usando o Teorema de Pitágoras. 

5² + 10 ² = MC²

MC² =  125

MC = 5√5

Repare que os triângulos DCM e EBC são semelhantes:

DC/EB = CM/BC = MD/CE

10/y = 5√5 / 10 = 5 / x

(Obtendo y)

10/y = 5√5 / 10 

5√5 y = 100

y = 20 / √5 * √5/√5 = (20√5)/5 

y = 4√5

(Obtendo x)

5√5 / 10 = 5 / x

(5√5)x = 50

x = 10/√5 * √5/√5

x = [10/√5]/5

x = 2√5

Agora é só calcular as áreas a e b dos triângulos DCM e EBC.

a = ( 10 . 5 ) / 2 = 25

b = ( 4√5 . 2√5)/2 = 40/2 = 20

A razão a/b = 25/20 = 5/4 [Alternativa correta é a letra A]

Aproveite e confira uma bateria de questões de geometria que envolvem semelhança de triângulos.

Um forte abraço e bons estudos.