(EsPCEx 2020) A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu
preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água,
“t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por h(t) = log2 (at² + bt + c), com t ∈ [0,7] ,
onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com
4 metros?
[A] 3 horas e 30 minutos
[B] 3 horas
[C] 2 horas e 30 minutos
[D] 2 horas
[E] 1 hora e 30 minutos
Solução: questão muito rica da EsPCEx 2020 que envolve logaritmos, a resolução de sistemas lineares e a obtenção das raízes de uma equação do segundo grau. Nosso objetivo é encontrar o tempo t, no qual a altura h(t) =
log2 (at² + bt + c) é igual a 4. Note que antes disso, nós precisamos encontrar as constantes a,b e c.
Repare que o enunciado nos dá 3 alturas deste reservatório em diferentes momentos, vejamos:
>>Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas.
t=0; h(0)=0 e t=7 ; h(7) = 6
>>Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros.
t=1 ; h(1) = 2
Com estes pontos, já podemos encontrar a,b,c.
h(0) = log2 (a.0² + b.0 + c) = 0
log2 (c) = 0
c = 1
h(1) = log2 (a.1² + b.1 + c) = 2
log2 (a + b + 1) = 2
a + b + 1 = 2²
a + b = 3
h(7) = log2 (a.7² + b.7 + c) = 6
log2 (a.49 + b.7 + 1) = 6
49a + 7b + 1 = 26
49a + 7b = 63
Para encontrar a e b precisamos resolver o sistema linear:
a + b = 3 (equação 1)
49a + 7b = 63 (equação 2)
Vamos isolar b na equação 1 e aplicar em 2.
b = 3 - a
49a + 7 ( 3-a) = 63
49a + 21 - 7a = 63
42a = 42
a = 1
b = 3-1
b=2
Com a,b,c encontrados, valendo respectivamente, 1, 2, 1 vamos reescrever h(t):
h(t) = log2 (t² + 2t + 1)
Agora, basta descobrir o t, para o qual a altura h(t) vale 4.
log2 (t² + 2t + 1) = 4
t² + 2t + 1 = 24
Usando o método de completar quadrados.
(t+1)² = 16
t +1 = ±√16
t+1 = ± 4
t = -1 ± 4
t1 = 3 ; t2 = -5
Usando a fórmula de Bhaskara.
t² + 2t + 1 = 24
t² + 2t + 1 = 16
t² + 2t - 15 = 0
a =1; b = 2 ; c = -15
t = (-b ± √Δ) / 2a ; Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4.1.(-15)
Δ = 4 + 60
Δ = 64
√Δ = 8
t = (-2 ± 8) / 2
t1 = 3 ; t2 = -5
O tempo que nos interessa é t = 3, o enunciado limita t ∈ [0,7]. Logo, o tempo transcorrido para que a altura do reservatório atinja 4 metros é o t = 3 horas. Alternativa correta é a letra B.
