(EsPCEx 2020) Na figura abaixo está representado o plano de Argang-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z0 =1.



Sobre o número complexo dado por [ (Z2)² . Z5 ] / Z3 é correto afirmar que é um número

[A] real e negativo.
[B] real e positivo.
[C] Imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva.
[D] Imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa.
[E] Imaginário puro com parte imaginária negativa.


Solução: para resolvermos essa questão sobre números complexos da EsPCEx 2020, vamos utilizar as seguintes fórmulas:

>> Forma trigonométrica ou polar do número complexo

z = ρ (cosθ + i senθ)

>> Fórmula de Moivre para potenciação do número complexo.

zn  = |z|n (cos nθ + i sen nθ)


Repare na figura do enunciado que o ângulo entre cada número complexo adjacente é de 30º.  Isso porque a circunferência (360º) foi dividida em 12 partes, sendo assim 360º/12 = 30º.

Como Z0 = 1, então ρ = 1, que é próprio raio desta circunferência.

Vamos escrever Z2, Z3 e Z5 usando a forma polar.

Z2 = 1 (cos 60º + i sen 60º) = 1/2 + [(√3)/2] i
Z3 = 1 (cos 90º + i sen 60º) =  i
Z5 = 1 (cos 150º + i sen 150º) = - [(√3)/2] + (1/2) i

Vamos agora usar a fórmula de Moivre para obter Z². Um detalhe é que nós podemos obter Z² fazendo simplesmente o produto  Z x Z, uma vez que essa potência é de um grau baixo.  Caso o expoente fosse maior, por exemplo, Z9 , então ficaria impraticável fazer ZxZxZ ... x Z por 9 vezes.  Portanto, para fins de estudo, vamos resolver essa questão usando a fórmula de Moivre: 

z2  = |1|2 (cos 2x60º + i sen 2x60º)
z2  = 1 (cos 120º + i sen120º)
z² = -1/2 + [(√3)/2]i

Vamos calcular Z² . Z5 . Neste produto, basta multiplicar todos os elementos do primeiro número complexo por todos os elementos dos segundo.

[  -1/2 + [(√3)/2]i  ]  .  [  - [(√3)/2] + (1/2) i  ]
+ (√3)/4  - (1/4) i -  (3/4)i  + [(√3)/4] i²
+ (√3)/4  - (4/4) i  - [(√3)/4]   = -i

Por último, basta dividir -i / i  = -1  [Alternativa correta é a letra A]

Curiosidade:  esta divisão de números complexos foi mais simples, pois ambos só possuem parte imaginária, caso a divisão fosse feita entre números complexos com parte real e imaginária, então teríamos que usar a fórmula da divisão de dois números complexos za / zb:


Curiosidade 2: podemos usar esta fórmula para dividir -i por i. O conjugado do denominador (i) é igual a (-i).

= -i . (-i) /i . (-i)
= + i² / - i²
= + ( -1) / - (-1)
= -1 / + 1  =  -1

Aproveite e confira mais exercícios resolvidos de números complexos.

>> Exercícios de Números Complexos - Resolvidos

Um forte abraço e bons estudos.