(EsPCEx 2020) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE



A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é

a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5


Solução: questão muito boa de geometria da prova de 2020 da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx 2020).  Para simplificar nossos cálculos, vamos considerar que o quadrado tem lado igual a 10 e vamos ilustrar nosso problema. Na figura a seguir, repare alguns pontos e segmentos importantes:


No triângulo ADE, o segmento AF é a mediana relativa ao lado DE, sendo assim, as áreas A1 e A2 são iguais, uma vez que a mediana divide um triângulo em dois triângulos menores de áreas iguais.

Nossa estratégia será:

(P1) obter a área do trapézio ABED
(P2) obter a área do triângulo AEB
(P3) Calcular a área de ADE por meio da subtração (P1)-(P2).   Este valor encontrado, corresponde a duas vezes a área do triângulo AFE.

Com a estratégia definida, vamos aos cálculos:

(P1) área do trapézio ABED = (B + b) x h/2 = (10+5) x 10/2 = 15 x 5 = 75
(P2) área do triângulo AEB = (b x h )/2 = (10 x 5) / 2 = 50/2 = 25
(P3) área do triângulo ADE =  75 - 25 = 50 
Logo, área de AFE = 50/2 = 25

A área do quadrado vale 100, e a divisão de 100 por 25 dá 4.  Alternativa correta é a letra D.

Curiosidade:  este problema também pode ser resolvido por geometria analítica, basta marcar as coordenadas dos pontos AFE no plano cartesiano, vejamos:


  

Finalmente para calcular a área do triângulo AFE basta usar a fórmula do cálculo da área de um triângulo por meio de determinante.  Área de AFE = 1/2 x | D | .   Onde D é igual a:


O desenvolvimento deste determinante pelo método de Sarrus (saiba mais) terá como resultado o valor -50.

Área de AFE = 1/2 x | D |
Área de AFE = 1/2 x | -50 |
Área de AFE = 1/2 x 50
Área de AFE = 25

Novamente, basta dividir a área do quadrado ABCD pela área do triângulo AFE e o resultado final será 4.