(EsPCEx 2020) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a

(EsPCEx 2020) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a

Solução: antes de resolvermos esta questão, vamos elaborar um esboço do octógono regular e de algumas medidas importantes.

R é o raio da circunferência externa e r é o raio da circunferência interna. Repare que podemos encontrar o lado do octógono regular usando a Lei dos Cossenos. Depois, podemos encontrar r aplicando o Teorema de Pitágoras.

Aplicando a Lei dos Cossenos para encontrar o lado em função de R:

lado ² = R² + R² - 2. R . R cos 45º

lado²  = 2R² - 2R².(√2)/2

lado² = 2R² - R².√2

lado² = R² (2 - √2)

lado = R √(2 - √2)

Agora podemos calcular o raio menor usando o Teorema de Pitágoras:

r² +(lado/2)² = R²

r² = R² - [ R/2 √(2 - √2) ] ²

r² = R² - (R² / 4) (2 - √2)

r² = R² [ 1 - (1/4) (2 - √2) ]

r² = R² [ 4/4 - (2 - √2) / 4 ]

r² = R² [ 4 - (2 - √2)] / 4 

r² = R²/4 [2 + √2 ]    

r = R/2  . √[2 + √2]

Alternativa correta é a letra C.

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Um forte abraço e bons estudos.