(EsPCEx 2020) Uma reta tangente à curva de equação y=x² é paralela à reta 6x - y + 5=0. As coordenadas do ponto de tangência são

(EsPCEx 2020) Uma reta tangente à curva de equação y=x² é paralela à reta 6x - y + 5=0. As coordenadas do ponto de tangência são

[A] (3,9). [B] (6,5). [C] (5,6). [D] (5,9). [E] (9,3)

Solução: questão bem interessante de geometria analítica da Escola Preparatória de Cadetes do Exército de 2020, onde utilizaremos vários conceitos dessa matéria.

Repare que uma determinada reta, a qual chamaremos de r:y=ax+b irá tangenciar a parábola (y=x²).  Isto quer dizer que só haverá um único ponto em comum entre a reta r e a parábola. Para que isso aconteça, ao igualarmos a equação de r à parábola, teremos que ter Δ = 0.  

Outro detalhe importante é que r é paralela à reta y = 6x + 5.  Quando duas retas são paralelas, então elas possuem o mesmo coeficiente angular.  Logo, r: y = 6x + b.

Vamos igualar a reta r à parábola e forçar Δ = 0.

y = x²      e   y = 6x + b   (igualando ambas)

x² = 6x +b

x² - 6x - b = 0

Δ = 0

b² - 4ac = 0

(-6)² - 4.(1).(-b) = 0

36 + 4b = 0

4b = -36

b = -9

Logo, r: y = 6x - 9

O ponto onde ambas se encontram é dado por:

6 x - 9 = x²
x² - 6x + 9 = 0 (temos um trinômio do quadrado perfeito)
(x-3)² = 0
x-3 = 0
x = 3

Quando x=3, então y = 3² = 9.  O ponto de encontro é (3;9). Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e confira:  

>> Lista de Exercícios de Geometria Analítica.

Um forte abraço e bons estudos.