(Fuvest 2019) A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

(A) 2,1 m³ (B) 2,3 m³ (C) 3,0 m³ (D) 4,2 m³ (E) 6,0 m³

Solução:  questão de geometria espacial da Fuvest 2019 muito rica.  Além de exigir o conhecimento do cálculo do volume de um paralelepípedo, também vai exigir o conhecimento de fórmulas de Progressão Aritmética.

Vamos realizar o cálculo do Volume Total (VT) do sólido geométrico do nosso problema por meio da soma de inúmeros paralelepípedos de dimensões 0,05m x 0,10 m x 0,20 m.  O volume de um único paralelepípedo do problema é dado por 0,50 m x 0,10 m x 0,20 m = 0,01 m³.




Perceba na figura a seguir que a quantidade de paralelepípedos em cada degrau forma uma PA, onde o primeiro elemento (a1=1) e a razão é 1.

Isto quer dizer, que temos um total de 1+2+3+4+5+6+....+18+19+20 paralelepípedos, cada um deles com o volume de 0,01 m³.

Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, temos:

Sn  = (a1+an).(n/2)
S20 = (a1+a20).(20/2)
S20 = (1+20).(10)
S20 = (21).(10) 
S20 = 210

O volume total (VT) é dado pela soma de 210 paralelepípedos de 0,01m³.  
VT = 210 x 0,01 m³ 
VT = 2,10 m³ [alternativa correta é a letra A]

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Um forte abraço e bons estudos.