(Fuvest 2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha  horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

figura do triângulo retângulo

Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2 ), qual é o comprimento da trajetória  percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente?


Solução: questão muito interessante que envolve geometria, relações trigonométricas no triângulo retângulo (obtenção de ângulos por meio de relações seno, cosseno e tangente), Teorema de Pitágoras e cálculo de comprimento de arcos.  

O triângulo ABC, retângulo em A, possui medidas (AB = 1 e BC = 2).  Sendo assim, podemos encontrar o segmento AC por meio do Teorema de Pitágoras.

BC² = AB² + AC²
2² = 1² + AC²
AC² = 4 - 1 = 3
AC = √3

Para realizarmos o cálculo da trajetória de B, vamos ilustrar o problema.



Essa é a condição dada no enunciado.  Agora vamos desenhar a trajetória percorrida por B nos três movimentos do triângulo.



Movimento 1  

>> calcular o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de (180° - θ)  numa circunferência de raio igual a 2.  

Um detalhe importante está no cálculo desse ângulo θ.  Podemos encontrá-lo por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo.  

sen θ = cateto oposto / hipotenusa
sen θ = 1/2

Sabemos que θ = 30°, pois é o ângulo do primeiro quadrante cujo seno vale 1/2.


Assim, temos que 180° - θ = 180° - 30° = 150°

Convertendo 150° para radianos, temos 5π/6 rad.

A fórmula do comprimento de um arco é dada por S = α · R   ( onde α é o ângulo central em radianos e R o raio da circunferência)

S1 = (5π/6) · 2
S1 = 5π/3

Guardamos este valor para somar no final.

Movimento 2

>> calcular o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 90° numa circunferência de raio igual a 1.

Convertendo 90° para radianos, temos π/2 rad.

S2 = (π/2) · 1
S2 = π/2

E também guardamos este valor para somar no final.

Movimento 3

Este comprimento vale 0, perceba que o vértice B permaneceu fixo no mesmo lugar.


Finalmente, o comprimento da trajetória  percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente é igual a  5π/3 + π/2 = 13π/6

Alternativa correta é a letra (C).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.