(Fuvest 2019) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

(Fuvest 2019) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.  

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?

a) 1/9   b) 17/81  c) 1/3   d) 51/125   e) 125/243

Solução: questão de probabilidade da Fuvest 2019 muito interessante. Vamos usar a fórmula P = E / U, onde

P = probabilidade;  E = número de elementos do conjunto Evento Esperado e U = número de elementos do conjunto Universo.  O primeiro passo é identificar a quantidade de elementos destes conjuntos.

Repare que na rodada 1, existem três resultados possíveis {-1, 0, +1 }.  Já com a rodada 2 existirão nove resultados ( 3x3), veja só:  

-1, -1

-1, 0

-1, +1

0, -1

0, 0

0, +1

+1, -1

+1, 0

+1, +1

Na rodada 3, serão 3x3x3 = 27

Na rodada 4, 3x3x3x3 = 81

Na rodada 5, 3x3x3x3x3 = 3⁵ = 243 

Logo, o total de elementos do conjunto universo (U) é 243.

Agora, vamos buscar E.  O objetivo da questão é que após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial.  Ou seja, a soma das 5 rodadas deve ser igual a zero.  Isto acontecerá em 3 situações gerais, são elas: 

>>>  Primeira, quando todos os elementos são iguais a 0;

0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Esta situação só tem um único elemento.

>>>  Segunda, quando tivermos um resultado +1 e outro resultado -1 e por três vezes o número 0;

+1 -1 + 0 + 0 + 0 = 0

Atenção, pois esta situação não tem apenas um único elemento, são vários, pois a posição do +1, -1 e dos três 0 pode ser diferente.   Repare que a combinação +1, -1, 0, 0, 0 tem resultado final 0, assim como -1, 0, 0, +1, 0.  Para contarmos essas diferentes possibilidades, fazemos 5!/3! = 20   Isto porque o zero se repete 3 vezes.  Este problema de contagem é o mesmo da contagem de anagramas de uma palavra (saiba mais aqui).

>>>  Terceira e última, quando tivermos dois resultados +1 e outros dois resultado -1 e o número 0 uma vez.

+1 +1 -1 -1 + 0 = 0

Da mesma forma que na segunda situação, vamos calcular, 5! / 2!.2! = 30

Finalmente, nosso E = 1+20+30 = 51  

P = 51/243

P = 17/81  [Alternativa correta é a letra B]

Aproveite e confira:

>> Lista de Exercícios Resolvidos de Probabilidade

Um forte abraço e bons estudos.