(UNICAMP 2018) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão 𝑎/𝑏 é igual a

(UNICAMP 2018) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão 𝑎/𝑏 é igual a

a) √3+ 1.   b) √2+ 1.   c) √3.   d) √2.

Solução: questão muito interessante de geometria plana do Vestibular UNICAMP 2018, onde teremos que trabalhar a área de um setor circular.

A fórmula da área de um setor circular é dada por A = θ/2 . Raio²  

Com θ em radianos.

Vamos desenhar na figura do enunciado alguns elementos importantes para continuarmos a resolução:

Repare que a Área Total (AT) é duas vezes a área A.  Sendo assim:

AT = θ/2 . (a+b)²   

A =  θ/2 . (a)²

Como AT = 2 . [A], então:

θ/2 . (a+b)²   =  2.  [θ/2 . (a)²]

(a+b)²   =  2. (a)²

(a+b)²   =  (√2)². (a)²

(a+b)²   =  [(√2). a]²

Como a e b são positivos:

a+b = (√2). a

b = (√2). a - a

b = a [ (√2) -1]

O comando da questão busca encontrar a razão 𝑎/𝑏 que é igual a:

        a        
a [ (√2) -1]

Curiosidade:  Você ainda poderia tirar uma prova real rápida calculando as áreas dos setores, usando os raios a = a mesmo  e b = a [ (√2) -1]  veja só:

AT = θ/2 . (a+b)²   

AT = θ/2 . (a + a [ (√2) -1])²   

AT = θ/2 . (a + a(√2) -a )²  

AT = θ/2 . ( a(√2) )² 

AT = θ/2 . 2a²      

A =  θ/2 . a²

Note como AT vale duas vezes A.  [Provado]

Questão bem interessante, talvez um pouco difícil por ser do tipo literal e envolver operações de radiciação e potenciação e também produtos notáveis. Espero que a resolução passo a passo tenha te ajudado a construir e compreender o raciocínio.

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios sobre áreas de figuras planas - resolvidos passo a passo.

Um forte abraço e bons estudos.