(UNICAMP 2018) Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), obtêm-se quociente e resto iguais a 𝑥² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que

(UNICAMP 2018) Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), obtêm-se quociente e resto iguais a 𝑥² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que

a) o grau de 𝑝(𝑥) é menor que 5. 

b) o grau de 𝑞(𝑥) é menor que 3.

c) 𝑝(𝑥) tem raízes complexas. 

d) 𝑞(𝑥) tem raízes reais.

Solução: vamos escrever o polinômio p(x) em função de q(x) e de x²+1.  Repare na figura a seguir um exemplo da divisão de 21 pelo número 4 e a relação entre dividendo, divisor, quociente e resto.

Note que p(x) = (x²+1) . (q(x) + 1)

Repare que (x²+1) possui raízes imaginárias (complexas), vamos calculá-las:

x²+1 = 0

x² = -1

x = ± √(-1)  ...  [i²=-1]

x = ± √i²

x = ±  i  (raízes imaginárias)

Ao atribuírmos os valores x = i e x = -i, em p(x), iremos zerar o componente (x²+1).  Fazendo isso, também zeramos o polinômio. Logo,  p(+i) = 0  e p(-i) = 0 .  Finalmente, 𝑝(𝑥) tem raízes complexas. [alternativa correta é a letra C]

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios Resolvidos de Polinômios e Equações Polinomiais.

Um forte abraço e bons estudos.