(UNICAMP 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑. Se a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) é uma progressão geométrica de razão 𝑞 > 1, então tan 𝜃 é igual a


Solução:  questão muito interessante que envolve conceitos ligados à progressão geométrica e também relações trigonométricas em um triângulo retângulo.  Repare na figura a seguir que o valor de tangente de θ pode ser obtido por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo abaixo.



Uma informação do enunciado é que {a ; b ; c ; d} nesta ordem formam uma PG de razão q.

Sendo assim, a PG é do tipo { a ; a.q ; a.q² ; a.q³ }

Aplicando à fórmula:

tg θ = [a.q² - a] / [a.q³ - a.q]

tg θ = [a.(q² - 1)] / [a.q.(q² - 1)]

Simplificando:

tg θ = [a.(q² - 1)] / [a.q.(q² - 1)]

tg θ = 1 / q  (Alternativa correta é a letra A)


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Um forte abraço e bons estudos.