(ENEM 2020) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

(ENEM 2020) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade.  O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( →) ou para cima ( ↑ ), segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

a) 4.
b) 14.
c) 17.
d) 35.
e) 48.

Solução:  questão do ENEM 2020 de análise combinatória onde é possível fazer uma contagem dos caminhos, pois são poucos.  São 6 caminhos partindo de A iniciando o trajeto para cima e outros 11 caminhos iniciando o trajeto para a direita.  Basta seguir as regras do enunciado que você conseguirá contar esses caminhos.  

Seria mais difícil contar esses caminhos se a questão tivesse uma quantidade maior de quadras, por exemplo, se o Bernardo morasse a 20 ruas acima e 30 ruas à direita de André.  Portanto, vamos realizar essa contagem usando permutação com repetição.  Vamos deixar uma parte mais teórica em azul, caso você queira ir direto para a resolução final, é só pular essa parte.

Vamos analisar alguns casos:

>> Queremos ir de uma casa (1) para uma casa (2) que está 1 rua acima e 1 rua à direita da casa (1). Teremos  dois caminhos, são eles C D  e D C, onde  C representa movimento para cima e D movimento para direita.

Repare que para irmos 1 rua acima, temos que ter 1 comando C e para ir uma rua para direita, temos que ter 1 comando D.

>> Vamos analisar um outro caso, queremos ir de uma casa (1) para uma casa (2) que está 1 rua acima e 2 ruas à direita da casa (1).  Teremos 3 caminhos, são eles:  CDD, DDC, DCD.

Repare que para irmos 1 rua acima temos que ter 1 comando C e para irmos 2 ruas para direita temos que ter 2 comandos D.  E a quantidade de caminhos pode ser obtida fazendo a permutação com repetição desses três comandos, neste caso temos que permutar com repetição os elementos CDD que resultará em 3!/1!x2! = 3.

Com essas duas imagens, já podemos tirar algumas conclusões importantes.  A primeira delas é que para ir de uma casa (1) para uma casa  (2) que está a x ruas acima e y ruas à direita da casa (1), precisaremos de x comandos C e y comandos D.  E a quantidade de caminhos possíveis será dada pela expressão:  (x + y)! / x!.y! que nada mais é do que a permutação com repetição desses elementos.

Antes de partirmos para a resolução da questão do ENEM 2020, veja um exemplo onde o número de quadras está aumentando e está ficando mais difícil contar esses caminhos de forma manual.  Nestes casos, a fórmula será a nossa aliada.

Repare que são seis caminhos possíveis para irmos de (1) até (2), são eles: CCDD, DDCC, CDCD, CDDC, DCCD, DCDC.  Está ficando mais difícil contar esses caminhos, mas podemos calculá-lo com a fórmula que obtivemos.

Queremos ir de (1) até (2), a casa (2) fica a 2 ruas à direita e 2 ruas acima.  Basta fazer: 4! / 2!.2! = 6.

Vamos usar essa fórmula para resolver nossa questão.

Resolvendo a questão do ENEM 2020:

Queremos contar de quantas maneiras podemos ir de A até B, mas sem passar por C.  Vamos adotar a seguinte estratégia:

Passo 1 - calcularemos a quantidade de caminhos de A até B sem restrição;

Passo 2 - calcularemos a quantidade caminhos de A até B e que passam por C.  Teremos que calcular a quantidade de caminhos de (A até C) vezes (C até B).

Passo 3 - subtrairemos o resultado do (Passo 1) - (Passo 2)

Passo 1 - B está 3 ruas acima e 4 ruas à direita de A:   

(3+4)! / 3!4! = 7!/3!4! = 7.6.5.4!/6.4! = 35

Passo 2 - calcularemos a quantidade de caminhos de (A até C) vezes (C até B)

Caminhos de (A até C)  =   (2+2)!/2!.2! = 4!/4 = 24/4 = 6

Caminhos de (C até B)  =   (1+2)!/1!.2! = 3!/2! = 3

Calculando o produto 6 x 3 = 18

Passo 3 - basta subtrair 35 - 18 = 17.  Alternativa correta é a letra c).

A resolução ficou extensa, porque tentamos deixar explicações mais detalhadas.  Porém, caso o candidato já soubesse como proceder, então os cálculos para resolver esta questão se resumiriam a: 7! / 3!4!   -   ( 4!/2!.2! ) x ( 3!/2!.1! ) 35 - 6 x 3 35 - 18 17

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Análise Combinatória.

Um forte abraço e bons estudos.