(ENEM PPL 2019) No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não.

(ENEM PPL 2019) No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.

Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura? 

A) V + F = A 

B) V + F = A − 1 

C) V + F = A + 1 

D) V + F = A + 2 

E) V + F = A + 3

Solução: para este poliedro vamos contar as quantidades de vértices (V), faces (F) e arestas (A). As partes da figura que não estamos visualizando, vamos considerá-las retangulares, conforme enunciado. Depois aplicaremos na fórmula a seguir:

V + F  = A + x    

Realizando contagem:

V = 16

A = 24

F = 11

Aplicando na fórmula

V + F  = A + x    

16 + 11 = 24 + x

27-24 = x

x = 3.

Logo, para este poliedro, vale a relação:

V + F  = A + 3. [alternativa correta é a letra E].

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios sobre geometria espacial.

Um forte abraço e bons estudos.