(IME 2021) No que diz respeito a posição relativa das circunferências representadas pelas equações 

x² + y² − 6x − 8y = 11 

x² + y² − 8x + 4y = −16

pode-se afirmar que elas são:

(A) exteriores. (B) tangentes exteriores. (C) tangentes interiores. (D) concêntricas.  (E) secantes.

Solução:  questão de geometria analítica do IME  (Instituto Militar de Engenharia) que aborda o conceito de posição relativa entre circunferências.  Vamos colocar as equações das duas circunferências no formato da equação reduzida da circunferência. Fazendo isso, vamos obter as coordenadas do centro de cada circunferência e seus raios.  Em seguida, vamos também calcular a distância entre os centros das duas circunferências e comparar com as medidas de seus raios.

Curiosidade: esta questão do IME do exame de 2020/2021 tem características semelhantes a uma questão da UFPR 2020 sobre circunferências tangentes, que vale a pena resolvê-la também.

>> Equação 1:   x² + y² − 6x − 8y = 11 

x² - 6x + 3²  + y² - 8y + 4²  = 11 + 3² + 4²
(x - 3)² + (y-4)² = 36 = 6²

C1 = (3, 4) e R1 = 6

>> Equação 2:   x² + y² − 8x + 4y = −16

x² - 8x + 4²  + y²  + 4y + 2²  = -16 + 16 + 4
(x - 4)² + (y+2)² = 4 = 2²

C2 = (4, -2) e R2 = 2

Podemos notar que seus centros são diferentes, logo elas não são concêntricas. Portanto, podemos eliminar a opção d).

Agora, vamos calcular a distância entre os centros das duas circunferências, vamos denotar essa distância por dC1C2.

dC1C2 = √ [ (4-3)² + (-2-4)² ] = √37 ≅ 6,1.

A soma (R1 + R2) = 6 + 2 = 8

A diferença (R1 - R2) = 6 - 2 = 4

Podemos notar que:  

(R1 - R2) < dC1C2  <  (R1 + R2)
4 < √37 < 8
   
Logo, as duas circunferências são secantes. 

Alternativa correta é a letra e).

Veja a seguir as condições necessárias para cada opção de resposta.

(A) exteriores.  dC1C2 > (R1 + R2)

(B) tangentes exteriores.  dC1C2 = (R1+ R2)

(C) tangentes interiores.  dC1C2 = (R1 - R2) ; onde R1 é o raio da maior.

(D) concêntricas.  Coordenadas dos centros são iguais.

(E) secantes.  (R1 - R2) < dC1C2 < (R1 + R2) ; onde R1 é o raio da maior.

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Um forte abraço e bons estudos.