(UFPR 2020) Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é 𝒙² + 𝒚² − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B?
(UFPR 2020) Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é 𝒙² + 𝒚² − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B?
a) (𝑥 + 1)² + (𝑦 − 2)² = 15.
b) (𝑥 + 2)² + (𝑦 + 2)² = 5.
c) (𝑥 − 3)² + (𝑦 − 1)² = 3
d) (𝑥 − 7)² + (𝑦 − 2)² = 10.
e) (𝑥 + 3)² + (𝑦 + 2)² = 9.
Seja (x-xc)² + (y-yc)² = R² a equação reduzida da circunferência. Primeiramente vamos obter o centro da circunferência B.
x² - 8 x + (8/2)² + y² + 10 y + (10/2)² = -21 + (8/2)² + (10/2)²
x² - 8x + 16 + y² + 10y + 25 = -21 + 16 + 25
(x-4)² + (y+5)² = 20
C = (4,-5) e R = √20 ≅ 4,5
Precisamos do centro e raio de todas as opções de reposta.
a) C=(-1,2) e R = √15 ≅ 3,8
b) C=(-2,-2) e R = √5 ≅ 2,2
c) C=(3,1) e R = √3 ≅ 1,7
d) C=(7,2) e R = √10 ≅ 3,1
e) C=(-3,-2) e R = 3
Agora vamos trabalhar em cada alternativa:
a) distância entre os centros (4,-5) e (-1,2) = √[5² + (-7)²] = √[25 + 49] = √74 ≅ 8,5.
* Repare que a distância entre os centros vale aproximadamente 8,5 e os raios são aproximadamente 4,5 e 3,8, ou seja, é o caso da primeira fórmula da tangência (distância entre os centos = R1 + R2). Em todas as opções, você perceberá que só trabalharemos com essa condição.
Agora temos que calcular: distância entre os centos = R1 + R2
√74 = √20 + √15
(√74)² = (√20 + √15)²
74 = 20 + 2 . √20 . √15 + 15
74-35 = 2 √300
39 = 2.10√3 (√3 ≅ 1,7)
39 ≅ 20.1,7
39 ≅ 34 [FALSA, descartamos a) ]
b) distância entre os centros (4,-5) e (-2,-2) = √[6² + (-3)²] = √[36 + 9] = √45 = 3√5
Aplicando: distância entre os centos = R1 + R2
3√5 = √20 + √5
3√5 = 2√5 + √5
3√5 = 3√5 [VERDADEIRA]
Alternativa correta é a letra b).
Curiosidade: esses cálculos consomem tempo de prova, mas deixarei a título de prática e exercício a análise das letras C, D e E que também são falsas.
c) distância entre os centros (4,-5) e (3,1) = √[1² + (-6)²] = √[1 + 36] = √37
Aplicando: distância entre os centos = R1 + R2
Aplicando: distância entre os centos = R1 + R2
√58 = √20 + √10
(√58)² = (√20 + √10)²
58 = 20 + 2.√20.√10 + 10
28 = 2.√200
14 = 10√2
1,4 = √2 [FALSA, pois sabemos que √2 não vale exatamente 1,4, mas sim 1,4142....]
Aplicando: distância entre os centos = R1 + R2
√58 = √20 + 3
(√58)² = (√20 + 3)²
58 = 20 + 2.√20 . 3 + 9
58-29 = 6.2.√5
29 = 12 . √5 ( √5 ≅ 2,2 )
29 ≅ 12 . 2,2
29 ≅ 26,4 [FALSA]
A seguir disponibilizo uma tabela do Excel com a análise de todas as alternativas.
Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios de geometria analítica.
Um forte abraço e bons estudos.