(UFPR 2020) A figura ao lado representa um octógono regular com centro sobre a origem do sistema cartesiano. Se o vértice A desse octógono tem abscissa x = 8 e ordenada y = 6, conclui-se que a ordenada do vértice B é:

(UFPR 2020) A figura ao lado representa um octógono regular com centro sobre a origem do sistema cartesiano.  Se o vértice A desse octógono tem abscissa x = 8 e ordenada y = 6, conclui-se que a ordenada do vértice B é:

a) 10.
b) 12.
c) 2+6√2
d) 7√2
e) 3 + 4√3

Solução:  questão de geometria analítica da UFPR 2020 sobre o octógono regular muito rica.  Recomendo que você faça também essa questão da EsPCEx 2020 sobre o octógono regular.

Vamos ilustrar os caminhos que serão adotados na resolução deste problema:

Repare que a reta em azul (reta de A) é a que passa pela origem (0,0) e pelo ponto A(8,6).  A reta em vermelho (reta de B) passa pela origem e o ponto B (x,y).  O objetivo da questão é encontrar o valor de y nesse ponto B.

Repare que as retas possuem ângulos entre si de 45º e que a distância da origem até A é a mesma da distância da origem até B.  Essa é uma característica importante do octógono regular.

Vamos obter a equação de reta de A:  y = (ma) . x + b.  Sabemos que b=0, pois ela passa pela origem.

ma = Δy/Δx = (y2-y1)/(x2-x1) = (6-0)/(8-0) = 6/8 = 3/4

Sendo assim, a equação de reta de A: y = (3/4) x.

A equação de reta de B, também passa pela origem, logo, seu coeficiente b = 0. Precisamos obter o coeficiente angular da reta de B (mb) e podemos fazer isso usando a fórmula do ângulo entre duas retas.

tg (θ) = | (mb - ma)   / (1 + mb.ma)  | 

tg (45º) = | (mb - 3/4)   / (1 + mb. 3/4 )  | 

1 =  (mb - 3/4)   / (1 + 3/4 .  mb )  

1 + 3/4 .  mb    =   mb - 3/4

1 + 3/4 = mb - 3/4 . mb

7/4 = 1/4 . mb

mb = 7    

Sendo assim, a equação de reta de B: y = 7 x.  

Agora vamos obter a distância (d) da origem (0,0) até o ponto A (6,8) usando a fórmula da distância entre dois pontos:

d = √ [ (x2-x1)² + (y2-y1)²]

d = √ [ (8-0)² + (6-0)²]

d = √ [ (8)² + (6)²]

d = √ [ 64 + 36]

d = √ 100

d = 10

Finalmente, basta calcular a distância de origem (0,0) até B (x, y) e igualar a 10.

d = √ [ (x-0)² + (y-0)²]  =  10

√ [ (x)² + (y)²]  =  10

√ [ x² + y²]  =  10

x² + y² = 100

[ lembre-se: B está sobre a equação de reta y=7x ]

x² + (7x)² = 100

x² + 49x² = 100

50x² = 100

x² = 2

x = √2 (pois B tem x positivo)

Então o valor de y=7√2. [ alternativa correta é a letra D].

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios de geometria analítica.

Um forte abraço e bons estudos.