(UFPR 2020) A maior variação de maré do Brasil ocorre na baía de São Marcos, no estado do Maranhão. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo atingidos pela maré pode chegar a 8 metros em algumas épocas do ano. Suponha que em determinado dia do ano o nível da maré da baía de São Marcos possa ser descrito pela expressão 

𝒏(𝒕) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔) + 𝟒,   𝐜𝐨𝐦 𝒕 ∈ [𝟎, 𝟐𝟒] 

sendo 𝒕 o tempo (medido em horas) e 𝒏(𝒕) o nível da maré no instante t (dado em metros). Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 

1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia.
2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré.
3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré.
4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 3 metros. 


Assinale a alternativa correta. 


a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.

Solução:  questão muito boa da UFPR 2020 sobre ciclo trigonométrico.  Vamos realizar a solução dessa questão de uma forma passo a passo.  Em primeiro lugar, vamos analisar a função n(t).

Verificando o componente:  𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔)  podemos identificar que a cada hora que passa o ângulo varia 30º (que é o mesmo que 𝛑/𝟔).  Dessa forma, ao esboçarmos o ciclo trigonométrico, vamos dividi-lo em partes de 30º.  

Outro ponto importante é que a função n(t) atingirá seu valor máximo quando 𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔) assumir o valor máximo, para a função seno, isso vai acontecer sempre que estivermos no ângulo de 90º.

Do mesmo modo, n(t) atingirá seu valor mínimo quando 𝐬𝐞𝐧((𝐭 − 𝟓)𝛑/𝟔) assumir o valor mínimo, para a função seno, isso vai acontecer sempre que estivermos no ângulo de 270º.

Já podemos ilustrar nosso ciclo trigonométrico.
Na figura está marcado em vermelho os ângulos e em azul alguns valores da função seno. Agora, vamos marcar todos os tempos de 0 até 24 sobre os ângulos correspondentes  neste mesmo ciclo trigonométrico.  Repare que iniciamos em t=0, e o ângulo será o (0-5).30° = -5.30º = -150º.  Dele em diante vamos subindo de 30 em 30º.



Agora, podemos julgar as afirmativas:

1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia.   VERDADE. Repare na figura, que o máximo acontece quando t=8 ou t=20, portanto duas vezes.

2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré.  FALSA.  O nível mais baixo ocorre com t=2 ou t=14. 

3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré.   FALSA.  O máximo acontece quando t=8 ou t=20.

4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 3 metros. FALSA, veja no cálculo a seguir que a diferença entre o nível mais alto e o mais baixo é 7-1 = 6


Nível mais alto t=8 e 𝒏(8) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((8 − 𝟓)𝛑/𝟔) + 𝟒
𝒏(8) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧(𝛑/2) + 𝟒
𝒏(8) = 𝟑 . 1  + 𝟒
𝒏(8) = 7

Nível mais baixo t=14 e 𝒏(14) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((14 − 𝟓)𝛑/𝟔) + 𝟒
𝒏(14) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧((9)𝛑/𝟔) + 𝟒
𝒏(14) = 𝟑 𝐬𝐞𝐧( (3)𝛑/2) + 𝟒
𝒏(14) = 𝟑 . -1 + 𝟒
𝒏(14) = -𝟑 + 𝟒
𝒏(14) = 1

Diferença entre nível mais alto e mais baixo é 7-1 = 6.


Portanto, a alternativa correta é a letra a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios de trigonometria e ciclo trigonométrico.

Um forte abraço e bons estudos.