(UNICAMP 2021) Seja 𝑥 um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x +1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a

(UNICAMP 2021) Seja 𝑥 um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x +1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a

a) 3/2.    b) 2.    c) 5/2.    d) 3.

Solução: nesta questão do Vestibular UNICAMP 2021, vamos primeiramente encontrar o valor de x para que possamos escrever a PG infinita.  Depois disso, vamos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita:   S = a1 / (1-q)

Seja a PG = { 1, 2x, -3x +1 }, temos que:  a2/a1 = q , e também a3/a2 = q.

2x/1 = 2x = q

-3x+1 / 2x = q

Igualando ambas:

2x = -3x+1 / 2x

4x² = -3x + 1

4x² +3x - 1 = 0

Vamos resolver essa equação do segundo grau pelo método de Bhaskara.

x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = 3² - 4.4.(-1) 

Δ = 9 + 16 = 25

√Δ = 5

x = (-3 ± 5) / 8

x1 = 2/8 = 1/4 

x2 = -8/8 = -1

Temos que descartar x2, e ficar com x1, por causa do enunciado: "Sabendo que todos os termos da progressão são positivos".

Logo, x = 1/4.  Com isso, a PG fica sendo {1, 1/2, 1/4, ...}.  A razão q desta PG é 1/2.

Finalmente, é só aplicar na fórmula da soma dos termos de uma PG infinita.

S = a1 / (1-q) = 1 / (1-1/2) = 1 / (1/2) = 2. [Alternativa correta é a letra B]

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios sobre Progressões Aritméticas e Geométricas.

Um forte abraço e bons estudos.