(Colégio Naval 2020) Na figura, a parábola é a representação gráfica no plano cartesiano da função y = -x² + 14x - 33. Sabe-se, sobre o losango ABCD de diagonais AC e BD, com AC paralelo ao eixo de x e BD paralelo ao eixo de y, que o produto das abscissas dos vértices A e C é igual a 40 e que o vértice B é o ponto de ordenada máxima da função. É correto afirmar que a área do losango em unidades de área é igual a:
(Colégio Naval 2020) Na figura, a parábola é a representação gráfica no plano cartesiano da função y = -x² + 14x - 33. Sabe-se, sobre o losango ABCD de diagonais AC e BD, com AC paralelo ao eixo de x e BD paralelo ao eixo de y, que o produto das abscissas dos vértices A e C é igual a 40 e que o vértice B é o ponto de ordenada máxima da função. É correto afirmar que a área do losango em unidades de área é igual a:
a) 72
b) 64
c) 60
d) 54
e) 48
As coordenadas do vértice da parábola são (Xv,Yv) onde:
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a ; Δ = b² - 4ac
Xv = -14/2(-1) = -14/-2
Xv = 7
Yv = - (14² -4.(-1).(-33))/4(-1)
Yv = - (196 -132)/-4
Yv = 64/4
Yv = 16
Sendo assim, encontramos o ponto B (7,16).
Vamos encontrar os pontos A e C. Sabemos que eles formam o segmento AC, que é paralelo ao eixo x, logo eles estão sobre uma equação de reta do tipo ( y = K) sendo K uma constante real. Vamos igualar (y = K ) e (y = -x² + 14x - 33) para encontrarmos as abscissas de A e C.
K = -x² + 14x - 33
-x² + 14x - 33 - K = 0
Uma informação importante do enunciado: " o produto das abscissas dos vértices A e C é igual a 40".
O produto é dado por:
(c/a) = (-33-k)/-1 = 40
33+k = 40
k = 7
Logo, A e C estão na altura (y=7). Vamos obter suas abscissas.
-x² + 14x - 33 - 7 = 0
-x² + 14x - 40 = 0
x = (-b ± √Δ) / 2a e Δ = b² - 4ac
Δ = 14² - 4(-1)(-40)
Δ = 196 - 160
Δ = 36 : √Δ = 6
x = (-14 ± 6) / -2
x1 = (-14+6)/-2 = 4
x2 = (-14-6)/-2 = 10
Encontramos então os pontos A ( 4,7) e B (10,7).
Por último, precisamos do ponto D (x,y). O valor x do ponto D é igual ao x do ponto B, isso porque a reta BD é paralela ao eixo y. Além disso, como estamos num losango, a distância de B até o segmento AC é igual a distância de D até AC. Então, o valor y do ponto D tem que ser igual a -2. Assim, encontramos também o ponto D (7,-2).
A área do losango é dada por (DM x dm)/2 = (18 x 6)/2 = 54. Alternativa correta é a letra d).
Curiosidade: por meio de derivada, podemos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Para isso, temos que derivar a função y e igualar essa derivada a zero (y' = 0). Encontraremos assim o valor Xv que aplicado à função inicial da parábola nos dará o valor de Yv. y = -x² + 14x - 33 Derivando y, chegaremos na seguinte y' y' = -2x + 14 Igualando y´= 0 0 = -2x + 14 2x=14 x=7 Aplicando x = 7 na função y y = - (7)² + 14 . (7) - 33 y = - 49 + 98 - 33 y = 16 |
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões sobre equações do segundo grau.
Um forte abraço e bons estudos.