(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Uma estimativa de dados indica que, caso o preço do ingresso para um jogo de futebol, custe R$ 20,00, haverá um público de 3.600 pagantes, arrecadando um total de R$ 72.00,00. Entretanto, foi estimado também que, a cada aumento de R$ 5,00 no preço do ingresso, o público diminuiria em 100 pagantes. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação, seja a maior possível, o preço unitário do ingresso de tal jogo deve ser:

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Uma estimativa de dados indica que, caso o preço do ingresso para um jogo de futebol, custe R$ 20,00, haverá um público de 3.600 pagantes, arrecadando um total de R$ 72.00,00.  Entretanto, foi estimado também que, a cada aumento de R$ 5,00 no preço do ingresso, o público diminuiria em 100 pagantes.  Considerando tais estimativas, para que a arrecadação, seja a maior possível, o preço unitário do ingresso de tal jogo deve ser:

a) R$ 30,00  b) R$ 60,00  c) R$ 80,00  d) R$ 100,00 e) R$ 120,00

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2020. Nela, teremos que maximizar uma função do segundo grau, utilizaremos as coordenadas do vértice da parábola.  Sabemos que:

Receita = preço cobrado  vezes quantidade vendida

Vamos criar a função R(x), receita em função de x, onde x representa as quantidades de aumentos de 5 reais aplicados ao produto.  Ou seja, quando x = 0, não temos aumento, e o preço do ingresso é R$ 20,00 e vendemos para 3600 pagantes.  Agora, quando x = 1, o aumento é de R$ 5,00, e vendemos para 3500 pagantes.  

Sendo assim, R(x), receita em função dos números de aumentos (x)

R(x) = p(x) . q(x)

R(x) = (20 + 5X) . (3600 - 100X)   

Perceba: 

R(0) = 20 . 3600

R(1) = 25 . 3500

R(2) = 30 . 3400

A função R(x) modela corretamente o problema proposto no enunciado.  Agora, queremos saber quando o R(x) é máximo?  R(x) é uma função do segundo grau, vamos desenvolvê-la.

R(x) = (20 + 5X) . (3600 - 100X)   

R(x) = 72000 - 2000X +18000X - 500X² 

R(x) = - 500X²  + 16000X + 72000

 

R(x) é uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo tendo o seguinte formato ∩, logo, ela tem um ponto de máximo exatamente no seu vértice.

As coordenadas do vértice da parábola são (Xv,Yv) onde:

Xv = -b/2a

Yv = -Δ/4a     ;   Δ = b² - 4ac  

Nesta questão, só precisamos do Xv.

Xv = - ( +16000) / 2 . (-500) = 16000/1000 = 16

O ponto de Receita Máxima está em R(16), o enunciado quer saber qual é o preço que gerou esta máxima receita.  Lembre-se:

p(x) = (20 + 5X)

p(16) = (20 + 5.16)

p(16) = 20 + 80

p(16) = 100

Alternativa correta é a letra d).

Questões sobre o vértice da parábola são muito comuns em problemas de maximização (ou minimização) envolvendo funções do segundo grau. Nessas questões, será necessário modelar o problema de modo a obter uma função do segundo grau e depois aplicar a fórmula do vértice da parábola. Para treinar mais este tópico, recomendo que você realize as três questões abaixo:

>> Questão do ENEM 2017 sobre a maximização de um viveiro de lagostas

>> Questão do FUVEST 2020 sobre maximização de arrecadação de uma lanchonete

>> Questão do CEDERJ 2019.1 sobre maximização da área de um losango

Um forte abraço e bons estudos.