(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2011 - Banca CEPERJ)    A figura abaixo mostra três círculos, cada um com 10 cm de raio, tangentes entre si.


Considerando √3 =  1,73 e π = 3,14, o valor da área sombreada, em cm², é: 

A) 320
B) 330
C) 340
D) 350
E) 360

Solução: questão de geometria do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2011.

A questão é bastante interessante, pois envolve o cálculo de áreas de diferentes figuras geométricas.  Em primeiro lugar, temos que visualizar que será formado um triângulo equilátero, com vértices no centro dos três círculos e com medida do lado igual a 2R, ou seja, 20 cm.  Repare na ilustração a seguir:



Podemos identificar que a área objetivo a ser calculada é dada pela soma de duas áreas, são elas: 

>  área de um círculo de raio 10 cm; 
>  área central delimitada pelas três circunferências, esta última, vamos reforçar em vermelho na figura a seguir:


Vamos calcular essa área em vermelho da seguinte forma:

Área em vermelho = (área do triângulo equilátero de lado 20 cm) - 3 x (área do setor circular de raio 10 cm e ângulo de 60º)


A área de um triângulo equilátero de lado 20 cm vale: (L² . √3) / 4 = (20² . √3)/4 = 100 . 1,73 = 173 cm².

A área de um círculo de raio 10 cm vale: π . R² = 3,14 . 10² = 314 cm².

A área de um setor circular de raio 10 cm e ângulo interno de 60 º vale:  60º/360º . π . R² = 1/6 . 3,14 . 10² = 1/6 . 314 = 157/3 cm².

Agora, vamos calcular a área em vermelho:

Área em vermelho = 173 - 3 x (157/3) = 173 - 157 = 16 cm².

Finalmente, a área objetivo é a área de um círculo de raio 10 cm mais a área em vermelho.

área objetivo = 314 + 16 = 330 cm².   Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões sobre áreas de figuras geométricas.

Um forte abraço e bons estudos.