(UERJ 2020) Em uma fábrica, uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, com 25 cm de comprimento, 10 cm de largura e 8 cm de altura, é preenchida com pequenos cubos de 0,5 cm³ . Inicialmente, apenas um cubo é colocado na caixa. Em seguida, a cada minuto, duplica-se o número de cubos dentro dela. Considere a tabela:

(UERJ 2020) Em uma fábrica, uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, com 25 cm de comprimento, 10 cm de largura e 8 cm de altura, é preenchida com pequenos cubos de 0,5 cm³ . Inicialmente, apenas um cubo é colocado na caixa. Em seguida, a cada minuto, duplica-se o número de cubos dentro dela. Considere a tabela:

O valor do tempo t, em minutos, necessário para a caixa ser totalmente preenchida, é igual a: 

(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18

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Solução: questão de matemática muito interessante do Vestibular UERJ 2020 onde são cobrados conhecimentos de geometria espacial (volume do paralelepípedo retângulo), equações exponenciais e logaritmos.

Primeiramente, temos que calcular o volume deste paralelepípedo retângulo, que vale:

Volume =  25 x 10 x 8 cm³

Volume =  2000 cm³

Isto quer dizer que dentro deste paralelepípedo cabem 2000 / 0,5 = 4000 cubos de 0,5 cm³.

Vamos agora aplicar a fórmula de um crescimento exponencial para encontrar quanto tempo é necessário para encher este paralelepípedo nas condições dadas:

VF = VI . (1+i)ⁿ

Onde: 

VF = Valor Final

VI = Valor Inicial

i = taxa

n = tempo

** Similar à fórmula dos juros compostos.

VF vale 4000 ( no mínimo)

VI = 1

A taxa de crescimento (i) é de 100%, pois a população dobra a cada minuto.

O tempo n é o que desejamos calcular.

Aplicando estes valores na fórmula:

4000 = 1 . (1+1)ⁿ

4000 =  2ⁿ

log 4000 = log 2ⁿ

log (4 . 1000) = n . log 2

log 4 + log 1000 = n . log2

log 2² + 3 = n . log2

2 . log 2 + 3 = n . log 2

Precisamos do valor de log 2, repare na tabela do enunciado que: 100,30 = 2. Podemos aplicar log nos dois lados. Lembre-se que quando não especificamos a base do logaritmo, significa que a base é 10. log  100,30 = log 2 0,30 . log 10 = log 2 0,30 . 1 = log 2 log 2 = 0,30

Voltando à equação e substituindo o valor de log 2 por 0,30, temos:

2 .  0,30 + 3 = n . 0,30

0,60 + 3 = 0,30 n

3,60/0,30 = n

n = 12  

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade: este problema também pode ser resolvido usando a fórmula do n-ésimo termo de uma PG - Progressão Geométrica.

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos de equação exponencial.

Um forte abraço e bons estudos.