(Professor de Educação Básica II - Matemática - Prefeitura de Itatiba SP - Banca: Avança SP) A figura abaixo mostra os gráficos das funções do 1° grau f(x) e g(x) no plano cartesiano. A função gof(x) pode ser representada por uma reta cujo coeficiente angular (ou declividade) é igual a:


(A) 0. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) n.d.a. 

Solução: questão interessante de geometria analítica sobre equações de reta, condição de paralelismo entre duas retas e também função composta.  Vamos realizá-la de duas maneiras distintas, primeiramente temos que f(x) e g(x) se interceptam no ponto cuja abscissa vale 2, podemos encontrar a ordenada deste ponto aplicando x = 2 em f(x).

f(2) = (2+2)/2 = 4/2 = 2

Ou seja, f(x) e g(x) se encontram no ponto (2,2). 

Repare também que f(x) e g(x) são perpendiculares, logo o produtos dos seus coeficientes angulares é igual a -1.

f(x) = (1/2).x + 1
g(x) = (a).x + b

(1/2)  . (a) = -1
a = -2

Então g(x) tem a equação g(x) = -2.x + b.  Se aplicarmos o ponto (2,2) em g(x) encontraremos o valor do coeficiente b.

g(2) = - 2 . 2 + b = 2
-4 + b = 2
b = 6

Sendo assim, g(x) = -2.x + 6.

Agora vamos encontrar a função composta: 

g o f (x) = g ( f(x) ) = -2 . f(x) + 6 = - 2 .  (x+2)/2 + 6 = -x -2 + 6 = -x + 4

O coeficiente angular vale -1 e por não estar no rol de alternativas de respostas, marcamos e) n.d.a.

Essa questão pode ser resolvida por um método mais direto, por meio da análise dos gráficos:  repare que o coeficiente angular de f(x) é positivo e o de g(x) é negativo.  Vamos supor que o coeficiente angular de g(x) seja um valor -k, sem necessariamente calcularmos.

g(x) = - k(x) + b
g (f(x)) = - k ( f(x) ) + b
g (f(x)) = - k ( 1/2. x + 1 ) + b

Repare que o produto de -k com um valor positivo sempre será um valor negativo, ou seja, o coeficiente angular da g(f(x)) quando o coeficiente de g(x) é negativo e o coeficiente de f(x) é positivo, será um coeficiente angular negativo. 

Como as opções de resposta só possuem valores positivos, então marcamos e) n.d.a.

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos de geometria analítica.

Ou então, uma lista de exercícios resolvidos sobre função composta.

Um forte abraço e bons estudos.