(EPCAR 2022) As caixas desenhadas abaixo têm a forma de paralelepípedo reto retângulo e os polinômios ao lado de cada aresta representam suas respectivas medidas, todas na mesma unidade.

Observa-se que há valores específicos de x para que as caixas existam e que as dimensões estão fora de escala. O polinômio Q(x) indica a quantidade de vezes que a caixa 2 vai caber na caixa 1.

Para que caibam, exatamente, 120 caixas 2 no interior da caixa 1, ou seja, Q(x) = 120, a soma das dimensões da maior caixa deve ser igual a

a) 45

b) 62

c) 81  

d) 125

Solução: questão muito interessante sobre polinômios envolvendo noções de geometria espacial.  Primeiramente, vamos fazer a decomposição desses polinômios, o máximo que pudermos.   Sejam as medidas de: 

Caixa 1 =  { -3x - 3 ; - x + 1 ; x² - 2x -8 }
Caixa 2 =  { - x - 1  ; - x + 1 ;   1            } 

Vamos decompor mais estes polinômios (exceto o polinômio de grau 2):

Caixa 1 =  { 3 (- x - 1) ; - x + 1 ;  x² - 2x -8 }
Caixa 2 =  { 1 (- x - 1) ; - x + 1 ;  1              }

Repare que reorganizamos as caixas de modo que em azul estão as medidas das bases de cada caixa e em vermelho a medida de sua respectiva altura. Isso vai facilitar a resolução.




Aqui temos uma percepção importante, repare que desse modo, a base da caixa 1 irá comportar exatamente 3 bases da caixa 2.  Veja no esboço a seguir:



Então, para empilharmos 120 caixas, dado que cada "andar" contém 3 caixas, então deveremos calcular:

Altura da Caixa 1 / Altura da Caixa 2 = 40 andares
(x² - 2x -8) / 1 = 40

x² - 2x - 8 = 40
x² - 2x - 48 = 0

Aplicando o método de Bhaskara, encontraremos as raízes dessa equação do segundo grau, são elas: x = 8 e x = - 6.

Agora, temos que analisar se x pode assumir estes valores, vamos começar por 8, repare que x não pode assumir este valor, pois algumas dimensões das caixas seriam negativas, então temos que descartá-lo. Agora, x só pode ser igual a - 6. 

Analisando x = - 6, todas as dimensões de caixa são positivas, portanto válidas.  Logo as dimensões da caixa 1 são:

Caixa 1 =  { 3 (- x - 1) ; - x + 1 ;  x² - 2x -8 }
Caixa 1 =  { 3 (6 - 1) ; 6 + 1 ;  36 + 12 -8 }
Caixa 1 =  { 15 ; 7 ;  40 }

E o somatório dessas dimensões vale 15 + 7 + 40 = 62.  Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.