(EPCAR 2022) Considere a figura abaixo e os dados:



Nessas condições, a razão NY  / NX é igual a

a) √3  - 1

b) √3  + 1

c) 1

d) 2

Solução: questão muito interessante de geometria plana da EPCAR que envolve inscrição do triângulo equilátero e do quadrado, ambos na mesma circunferência.  Utilizaremos também trigonometria e lei dos senos.  Questão muito rica.  Vamos resolvê-la passo a passo.  Vamos esboçar alguns ângulos de acordo com as informações do enunciado.



O quadrado tem quatro ângulos de 90º e o triângulo equilátero 3 ângulos de 60º, com isso, conseguimos preencher os ângulos internos no triângulo NXY.  Repare que podemos usar a lei dos senos para calcular NY/NX, pela lei dos senos temos:

NY / sen 45° = NX / sen75°
NY / NX = sen 45° / sen75°

Pelas relações trigonométricas, sabemos que sen 45° vale (√2)/2.  

sen 75º = sen (60º + 15º) e sabemos que o seno de (a + b) vale:  

sen (a+b) = sen (a) . cos (b) + sen (b) . cos (a)
sen (60º + 15º) = sen (60°) . cos (15°) + sen (15°) . cos (60°)

 = (√3)/2  .   (√6 + √2) / 4      +  (√6 - √2) / 4     .  1/2
 = (√3 . √6 + √3 . √2)  / 8   +    (√6 - √2)  / 8
 = (3√2 + √6) / 8   +    (√6 - √2)  / 8
 = (2 √2 + 2√6) / 8 = 2 ( √2 + √6 ) / 8 
sen 75° =  (√2 + √6) / 4

Voltamos em: NY / NX = sen 45° / sen75°

NY / NX =  (√2)/2    /     (√2 + √6) / 4
NY / NX =  (√2)/2    * 4 /  (√2 + √6)
NY / NX =  2√2  /  (√2 + √6)

Vamos multiplicar numerador e denominador por (√2 - √6)

NY / NX =  2√2  /  (√2 + √6)  *   (√2 - √6) / (√2 - √6)
NY / NX =   (4 - 4 √3) / (2  - 6 )
NY / NX =   4(1 - √3)   /  - 4
NY / NX =   -(1 - √3)  
NY / NX =   - 1 + √3
NY / NX =   √3  - 1.   Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.