(EPCAR 2022) Considere todos os números naturais k de dois algarismos, tais que k é igual ao triplo do produto de seus algarismos. É correto afirmar que a soma desses números k é divisível por 

a) 17  

b) 13 

c) 11 

d) 7

Solução: questão muito interessante com aplicação prática do conjunto dos números naturais, vamos resolvê-la passo a passo.

Repare que k é um conjunto de números naturais de dois algarismos, portanto limitados entre 10 e 99.

Vamos definir então um k qualquer como sendo k = ab , onde "a" é o dígito da dezena e "b" será o dígito da unidade.

Por exemplo, quando k = 34, isto quer dizer que a = 3 e b = 4. Desse modo, o valor de k será dado por

k = a . 10¹ + b . 10º  (desenvolvimento polinomial)
k = 10a + b

Repare novamente, no exemplo acima, k = 34, então k = 10 . 3 + 4 = 30 + 4 =  34. 

Agora, vamos entrar com a seguinte restrição do enunciado: "k é igual ao triplo do produto de seus algarismos", ou seja, k = 3 x ( a x b).

E a partir daqui, podemos igualar as duas expressões obtidas para k e trabalharemos com a seguinte equação do primeiro grau.

10a+b = 3ab
10a = 3ab - b
10a = b ( 3a - 1)
b = 10a / (3a-1)

Chegamos nessa equação do primeiro grau e temos que atentar para o seguinte: a está variando de 1 até 9 e b está variando de 0 até 9. Além disso, eles são números naturais, então, o que iremos fazer é aplicar os valores de 1 até 9 em "a" para encontrarmos quais irão gerar um b como número natural, aquele que não for natural descartaremos.  Fazendo isso, estaremos montando o conjunto k definido pelo enunciado.

a = 1 e b = 10.1/( 3.1 -1 ) = 10/2 = 5 ;   repare que tanto a quanto b são naturais e satisfazem, então k = 15 satisfaz a condição do enunciado e guardamos esse número no conjunto k.

a = 2 e b = 20 / 5 = 4, então k = 24. Guardamos este também.

a = 3 e b = 30 / 8 = 3,75 não é um número natural.  Este não serve.

a = 4 e b = 40 / 11 e novamente não é natural. Também não serve.

E continuando, todos os valores aplicados para "a" maiores ou iguais a 3 irão resultar em valores "b" que são fracionários (não naturais), é tranquilo perceber isso fazendo essas contas de cabeça,  logo, o conjunto k é dado apenas pelos seguintes elementos:

k = { 15 e 24 }

Repare 15 = 3 x ( 1x5) = 3 x 5 = 15  e 24 = 3 x ( 2 x 4 ) = 3 x 8 = 24

Agora temos que somar o conjunto k, ou seja, somar 15 + 24 = 39.  E esse número 39 é divisível por 13.  Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.