(EPCAR 2022) Na figura abaixo, ABCD e PQRS são dois quadrados cujos centros coincidem no ponto O.


Se PT mede 1 cm, então a área do círculo de centro O inscrito nesses quadrados, em cm², é igual a

a) π (1 + 2√2)

b) 2π (1 + 2√2)

c) π (3 + 2√2)

d) 2π (2 + √2)

Solução: questão muito interessante da EPCAR 2022 sobre inscrição e circunscrição de polígonos regulares e que envolve noções da geometria plana como área do círculo, teorema de Pitágoras e diagonal do quadrado.  Um exercício realmente muito rico, em linha com as demais questões do exame da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar).

Repare inicialmente que o círculo tem raio (R) igual a metade do lado do quadrado (L), ou seja, R = L/2.

A área do círculo (AC) vale 
AC = π . R²
AC = π . (L/2)²     (Equação I)

Agora olhe para o segmento de reta PR (ilustrado abaixo), repare que ele é uma diagonal do quadrado de lado (L), logo essa diagonal vale (L√2), além disso, sabemos que PR é igual a 1 + L + 1 e podemos igualar, veja:


Vamos igualar:

1 + L + 1 = L√2
2 + L = L√2
2 = L√2 - L
L (√2 - 1) = 2
L/2 = 1 / (√2 - 1)    

Vamos manter L/2 isolado e também vamos multiplicar numerador e denominador por (√2 + 1).

L/2 = 1 / (√2 - 1) * (√2 + 1)/(√2 + 1)
L/2 = (√2 + 1) / [ (√2)² - (1)²]
L/2 = (√2 + 1) / [ 2-1]
L/2 = (√2 + 1) / [ 1 ]
L/2 = (√2 + 1)       (Equação II)

Agora vamos aplicar este valor na equação I.

AC = π . (√2 + 1)²
AC = π . (2 + 2√2  + 1)
AC = π . ( 3 + 2√2 )

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.