(UFPR 2021) O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função I(t) = Io 2^rt , em que I(t) representa o número de infectados da população, Io > 0 representa o número inicial de infectados, r > 0 representa a taxa de contágio e t é o tempo medido em dias desde o início da epidemia. Com relação ao número de infectados, é correto afirmar:

(UFPR 2021) O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função I(t) = I₀ 2^rt , em que I(t) representa o número de infectados da população, I₀ > 0 representa o número inicial de infectados, r > 0 representa a taxa de contágio e t é o tempo medido em dias desde o início da epidemia. Com relação ao número de infectados, é correto afirmar:

a) Caso a taxa de infectados r esteja no intervalo (0,1), então o número de infectados I(t) decresce conforme os dias passam.

b) Caso I₀ = 3 e r = 2,3, então o número de infectados I(t) aumenta desde o primeiro dia até atingir um máximo por volta do sexto dia, e depois começa a decrescer.

c) Caso I₀ = 1 e r = 1, então a cada dia que passa a quantidade de infectados I(t) aumenta em 2.

d) Caso I₀ = 1 e r = 0,5, então é necessário pelo menos 20 dias para que o número de infectados I(t) seja maior que 1.000.

e) Se a taxa de contágio r aumentar, então haverá menos pessoas infectadas conforme os dias passam.

Solução: questão muito interessante sobre funções exponenciais do Vestibular UFPR 2021, questão bem contextualizada e com aplicação prática da matemática no dia a dia. Vamos julgar as alternativas a seguir:

a) Falsa, basta você aplicar um único exemplo e verificar que há crescimento conforme os dias passam, por exemplo, aplique r=0,5 e t=0, depois aplique e t=1, você verá que I(t) cresce, e este único exemplo já prova que a afirmativa é falsa.

b) Falsa, pois I(t) = 3 . 2 ^2,3.t e conforme t vai crescendo, o 2 estará elevado a um expoente cada vez maior, essa função não terá um ponto de máximo em t=6. Isto é falso, ela estará sempre crescendo de forma exponencial.

c) Falsa, pois I(t) = 2 ^t e sendo assim, conforme cada dia vai passando, o número de infectados não aumentará de forma linear (ganhando a cada dia mais 2 novos infectados), e sim de forma exponencial, tendo a quantidade de infectados multiplicada por 2 a cada dia. Seja: t = {0,1,2,3,4 .... } então I(t) = { 1, 2, 4, 8, 16, ... }. O crescimento não é linear e sim exponencial.

d) Verdade, pois I(t) = 2 ^{0,5 . t} e quando t = 20 temos:

I(20) = 2 ^{0,5. 20} = 2 ¹⁰ = 1024

Agora, vamos calcular I(19)

I(19) = 2 ^{0,5. 19} = 2 ^9,5 = 2 ^{(9 + 0,5)} = 2 ⁹ . 2 ^0,5 = 512 . √2 ≅ 512 . 1,4 ≅ 700

Repare que com 19 dias não se alcança 1000 infectados, apenas com 20 dias. A afirmativa d) está correta.

e) Falsa, pois quanto maior for r, maior será o crescimento do número de contaminados dia após dia. Basta pensar em r =1 e depois em r = 100 . E teremos duas funções

I(t) = I₀ . 2 ^t e I(t) = I₀ . 2 ^100.t a segunda crescerá muito mais rápido, veja que em t=1 teremos:

I₀ . 2¹ contra I₀ . 2¹⁰⁰, este último bem superior.

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.